Logika 1

BAB 1
Logika
Benteng kehidupan yang terkuat adalah kebenaran.
(Anonim)
Materi Matematika Diskrit di dalam buku ini dimulai dari pokok bahasan logika.
Logika merupakan studi penalaran (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa
Indonesia disebutkan definisi penalaran, yaitu cara berpikir dengan
mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau
pengalaman. Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataanpernyataan
(statements). Tinjau argumen berikut:
Semua pengendara sepeda motor memakai helm.
Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.
Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.
Meskipun logika tidak membantu menentukan apakah pernyataan-pernyataan
tersebut benar atau salah, tetapi jika kedua pernyataan tersebut benar, maka
penalaran dengan menggunakan logika membawa kita pada kesimpulan bahwa
pernyataan
Semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa
juga benar.
2 Matematika Diskrit
Di dalam matematika, hukum-hukum logika menspesifikasikan makna dari
pernyataan matematis. Hukum-hukum logika tersebut membantu kita untuk
membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid. Logika juga digunakan
untuk membuktikan teorema-teorema di dalam matematika.
Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300
tahun yang lalu. Saat ini, logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu
komputer, misalnya dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma,
kecerdasan buatan (artificial intelligence), perancangan komputer, dan sebagainya.
Bab 1 ini dimulai dengan definisi proposisi dan notasi yang digunakan untuk
melambangkan proposisi. Selanjutnya dijelaskan pula cara mengkombinasikan
proposisi majemuk dan membentuk tabel kebenarannya. Proposisi majemuk yang
lain seperti implikasi dan bi-implikasi dibahas pada bagian akhir buku.
1.1 Proposisi
Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya
kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran.
Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
DEFINISI 1.1. Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah
(false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah
kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).
Tiga buah contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat mana yang
merupakan proposisi dan mana yang bukan.
Contoh 1.1
Pernyataan-pernyataan berikut ini,
(a) 6 adalah bilangan genap.
(b) Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
(c) 2 + 2 = 4.
(d) Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang.
(e) 12 ³ 19.
(f) Kemarin hari hujan.
(g) Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat Celcius.
(h) Pemuda itu tinggi.
(i) Kehidupan hanya ada di planet Bumi.
semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, dan c bernilai benar, tetapi proposisi d
salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya adalah Bandung dan proposisi e bernilai
Bab 1 Logika 3
salah karena seharusnya 12 £ 19. Proposisi f sampai i memang tidak dapat langsung
ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak
mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar
atau salah. Misalnya, proposisi f bisa kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan)
atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h.
Proposisi i bisa benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat
memastikan kebenarannya. n
Contoh 1.2.
Pernyataan-pernyataan berikut ini,
(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
(b) Serahkan uangmu sekarang!
(c) x + 3 = 8.
(d) x > 3.
bukan proposisi. Pernyataan a adalah kalimat tanya, sedangkan pernyataan b adalah kalimat
perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari Contoh 1.1, dan 1.2 di atas,
kita dapat menyimpulkan bahwa proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan
sebagi kalimat tanya maupun kalimat perintah. Pernyataan c dan d bukan proposisi karena
kedua pernyataan tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab mereka
mengandung peubah (variabel) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi, pernyataan
“Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap”
adalah proposisi yang bernilai benar karena pernyataan tersebut merupakan cara lain
untuk menyatakan bilangan genap. Begitu juga pernyataan
x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil
adalah proposisi karena pernyataan tersebut merupakan cara lain untuk menyatakan
hukum komutatif penjumlahan pada sistem bilangan riil. Dalam hal ini x dan y tidak perlu
diberi suatu nilai sebab proposisi tersebut pasti benar untuk x dan y berapa saja. ¾
Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi
(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic), sedangkan
bidang logika yang membentuk proposisi pada pernyataan yang mengandung
peubah seperti pada Contoh 1.2 c dan d di atas dibahas pada logika kalkulus
predikat yang mana di luar cakupan buku ini.
Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p,
q, r, …. Misalnya,
p : 6 adalah bilangan genap.
4 Matematika Diskrit
untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga
untuk
q : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.
r : 2 + 2 = 4.
dan sebagainya.
1.2 Mengkombinasikan Proposisi
Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih
proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut
operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau
(or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena
operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga
dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi
majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi
proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk
disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi
dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun
1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of Thought. Proposisi majemuk
ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganya didefinisikan
sebagai berikut:
DEFINISI 1.2. Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) p dan q,
dinyatakan dengan notasi p Ù q, adalah proposisi
p dan q
Disjungsi (disjunction) p dan q, dinyatakan dengan notasi p Ú q, adalah proposisi
p atau q
Ingkaran atau (negation) dari p, dinyatakan dengan notasi ~p, adalah proposisi
tidak p
Catatan:
1. Beberapa literatur menggunakan notasi “Øp”, “ p ”, atau “not p” untuk
menyatakan ingkaran.
2. Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan
di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar”
menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan”
bergantung pada rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.
Bab 1 Logika 5
Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi
proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.
Contoh 1.3
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
maka
p Ù q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
p Ú q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
~p : Tidak benar hari ini hujan
(atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)
¾
Contoh 1.4
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Hari ini dingin
maka
q Ú ~p : Hari ini dingin atau hari ini tidak hujan
atau, dengan kata lain, “Hari ini dingin atau tidak hujan”
~p Ù ~q : Hari ini tidak hujan dan hari ini tidak dingin
atau, dengan kata lain, “Hari ini tidak hujan maupun dingin”
~(~p) : Tidak benar hari ini tidak hujan
atau dengan kata lain, “Salah bahwa hari ini tidak hujan”
¾
Contoh 1.5
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan
Nyatakan proposisi berikut (asumsikan “Pemuda itu pendek” berarti “Pemuda itu tidak
tinggi”) ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik):
(a) Pemuda itu tinggi dan tampan
(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
6 Matematika Diskrit
Penyelesaian:
(a) p Ù q
(b) p Ù ~q
(c) ~p Ù ~q
(d) ~(~p Ú ~q)
(e) p Ú (~p Ù q)
(f) ~(~p Ù ~q)
¾
1.3 Tabel Kebenaran
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari
proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.
DEFINISI 1.3 Misalkan p dan q adalah proposisi.
(a) Konjungsi p Ù q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
(b) Disjungsi p Ú q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
(c) Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar.
Contoh 1.6
Misalkan
p : 17 adalah bilangan prima
q : bilangan prima selalu ganjil
jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi
p Ù q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil
adalah salah. ¾
Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk
adalah menggunakan tabel kebenaran (truth table). Tabel kebenaran menampilkan
hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan
tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T = True
(benar), dan F = False (salah).
Bab 1 Logika 7
Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, dan ingkaran
p q p Ù q p q p Ú q p ~q
T T T T T T T F
T F F T F T F T
F T F F T T
F F F F F F
Contoh 1.7
Jika p, q, dan r adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika
(p Ù q) Ú (~q Ù r).
Penyelesaian:
Ada 3 buah proposisi atomik di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya
mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semua proposisi
tersebut adalah 2 ´ 2 ´ 2 = 8 buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p Ù q) Ú (~q Ù r)
ditunjukkan pada Tabel 1.2. ¾
Tabel 1.2 Tabel kebenaran proposisi (p Ù q) Ú (~q Ù r)
p q r p Ù q ~q ~q Ù r (p Ù q) Ú (~q Ù r)
T T T T F F T
T T F T F F T
T F T F T T T
T F F F T F F
F T T F F F F
F T F F F F F
F F T F T T T
F F F F T F F
Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai
kebenaran masing-masing proposisi atomiknya, atau selalu bernilai salah untuk
berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya
Kondisi ini didefinisikan di dalam Definisi 1.4 berikut:
DEFINISI 1.4 Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua
kasus, sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
8 Matematika Diskrit
Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam Definisi 1.4 di atas adalah semua
kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautologi
dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat T. Proposisi
kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenaran hanya memuat F.
Contoh 1.8
Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk p Ú ~(p Ù q) adalah sebuah
tautologi (Tabel 1.3) karena kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat T,
sedangkan (p Ù q) Ù ~(p Ú q) adalah sebuah kontradiksi (Tabel 1.4) karena kolom terakhir
pada tabel kebenarannya hanya memuat F. ¾
Tabel 1.3 p Ú ~(p Ù q) adalah tautologi
p q p Ù q ~(p Ù q) p Ú ~(p Ù q)
T T T F T
T F F T T
F T F T T
F F F T T
Tabel 1.4 (p Ù q) Ù ~(p Ú q) adalah kontradiksi
p q p Ù q p Ú q ~(p Ú q) (p Ù q) Ù ~(p Ú q)
T T T T F F
T F F T F F
F T F T F F
F F F F T F
Adakalanya dua buah proposisi majemuk dapat dikombinasikan dalam berbagai
cara namun semua kombinasi tersebut selalu menghasilkan tabel kebenaran yang
sama. Kita mengatakan bahwa kedua proposisi majemuk tersebut ekivalen secara
logika. Hal ini kita definisikan sebagai berikut:
DEFINISI 1.5 Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen
secara logika, dilambangkan dengan P(p, q, …) Û Q(p, q, …) jika keduanya mempunyai
tabel kebenaran yang identik.
Catatan:
Beberapa literatur menggunakan notasi “º” untuk melambangkan ekivalen
secara logika.
Menurut Definisi 1.5 terdapat banyak cara untuk menuliskan ekspresi logika, yang
pada hakekatnya semua ekspresi logika tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Bab 1 Logika 9
Contoh 1.9
Tabel 1.5 memperlihatkan tabel kebenaran untuk proposisi ~(p Ù q) dan proposisi ~p Ú
~q. Kolom terakhir pada kedua tabel tersebut sama nilainya (yaitu F, T, T, T), sehingga
kita katakan bahwa kedua proposisi tersebut ekivalen secara logika, atau ditulis sebagai
~(p Ù q) Û ~p Ú ~q. Bentuk keekivalenan ini dikenal dengan nama Hukum De Morgan.
¾
Tabel 1.5 ~ (p Ù q) ekivalen secara logika dengan p Ú ~ q
p q p Ù q ~ (p Ù q) p q ~ p ~q ~ p Ú ~ q
T T T F T T F F F
T F F T T F F T T
F T F T F T T F T
F F F T F F T T T
1.4 Disjungsi Eksklusif
Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara. Cara pertama,
“atau” digunakan secara inklusif (inclusive or) yaitu dalam bentuk “p atau q atau
keduanya”. Artinya, disjungsi dengan operator “atau” bernilai benar jika salah
satu dari proposisi atomiknya benar atau keduanya benar. Operator “atau” yang
sudah kita bahas pada contoh-contoh di atas adalah yang dari jenis inklusif ini.
Sebagai contoh, pernyataan
“Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai Bahasa C++ atau Java”.
diartikan bahwa tenaga IT (Information Technology) yang diterima harus
mempunyai kemampuan penguasaan salah satu dari Bahasa Java atau Bahasa
C++ atau kedua-duanya. Tabel kebenaran untuk “atau” secara inklusif adalah
seperti pada tabel 1.1 yang sudah dijelaskan di atas.
Cara kedua, “atau” digunakan secara eksklusif (exclusive or) yaitu dalam bentuk
“p atau q tetapi bukan keduanya”. Artinya, disjungsi p dengan q bernilai benar
hanya jika salah satu proposisi atomiknya benar (tapi bukan keduanya). Sebagai
contoh, pada sebuah ajang perlombaan pemenang dijanjikan mendapat hadiah.
Hadiahnya adalah sebuah pesawat televisi 20 inchi. Jika pemenang tidak
menginginkan membawa TV, panitia menggantinya dengan senilai uang..
Proposisi untuk masalah ini ditulis sebagai berikut:
“Pemenang lomba mendapat hadiah berupa TV atau uang”
10 Matematika Diskrit
Kata “atau” pada disjungsi di atas digunakan secara eksklusif. Artinya, hadiah
yang dapat dibawa pulang oleh pemenang hanya salah satu dari uang atau TV
tetapi tidak bisa keduanya
Khusus untuk disjungsi eksklusif kita menggunakan operator logika xor, untuk
membedakannya dengan inclusive or, yang definisinya adalah sebagai berikut:
DEFINISI 1.5. Misalkan p dan q adalah proposisi. Exclusive or p dan q, dinyatakan
dengan notasi p Å q, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p
dan q benar, selain itu nilainya salah.
Tabel kebenaran untuk operasi exclusive or ditunjukkan pada Tabel 1.6. Dari
tabel tersebut dapat dibaca proposisi p Å q hanya benar jika salah satu, tapi tidak
keduanya, dari proposisi atomiknya benar.
Tabel 1.6 Tabel kebenaran exclusive or
p q p Å q
T T F
T F T
F T T
F F F
1.5 Hukum-hukum Logika Proposisi
Proposisi, dalam kerangka hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang
dinyatakan dalam sejumlah hukum pada Tabel 1.7. Beberapa hukum tersebut mirip
dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + bc,
yaitu hukum distributif, sehingga kadang-kadang hukum logika proposisi dinamakan
juga hukum-hukum aljabar proposisi.
Tabel 1.7 Hukum-hukum logika (atau hukum-hukum aljabar proposisi)
1. Hukum identitas:
(i) p Ú FÛ p
(ii) p Ù TÛ p
2. Hukum null/dominasi:
(i) p Ù FÛ F
(ii) p Ú TÛ T
3. Hukum negasi:
(i) p Ú ~p Û T
(ii) p Ù ~p Û F
4. Hukum idempoten:
(i) p Ú p Û p
(ii) p Ù p Û p
Bab 1 Logika 11
5. Hukum involusi (negasi ganda):
~(~p) Û p
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
(i) p Ú (p Ù q) Û p
(ii) p Ù (p Ú q) Û p
7. Hukum komutatif:
(i) p Ú q Û q Ú p
(ii) p Ù q Û q Ù p
8. Hukum asosiatif:
(i) p Ú (q Ú r) Û (p Ú q) Ú r
(ii) p Ù (q Ù r) Û (p Ù q) Ù r
9. Hukum distributif:
(ii p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r)
(ii) p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)
10. Hukum De Morgan:
(i) ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q
(ii) ~(p Ú q) Û ~p Ù ~q
Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan dua
buah proposisi. Selain menggunakan tabel kebenaran, keekivalenan dapat
dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya pada proposisi majemuk yang
mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu proposisi majemuk mempunyai
n buah porposisi atomik, maka tabel kebenarannya terdiri dari 2n baris. Untuk n
yang besar jelas tidak praktis menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n = 10
terdapat 210 baris di dalam tabel kebenarannya.
Contoh 1.10
Tunjukkan bahwa p Ú ~(p Ú q) dan p Ú ~q keduanya ekivalen secara logika.
Penyelesaian:
p Ú ~(p Ú q ) Ûp Ú (~p Ù ~q) (Hukum De Mogran)
Û (p Ú ~p) Ù (p Ú ~q) (Hukum distributif)
Û T Ù (p Ú ~q) (Hukum negasi)
Ûp Ú ~q (Hukum identitas) ¾
Contoh 1.11
Buktikan hukum penyerapan: p Ù (p Ú q) Ûp
Penyelesaian:
p Ù (p Ú q) Û (p Ú F) Ù (p Ú q) (Hukum Identitas)
Û p Ú (F Ù q) (Hukum distributif)
Û p Ú F (Hukum Null)
Û p (Hukum Identitas) ¾
12 Matematika Diskrit
1.6 Operasi Logika di dalam Komputer
Bahasa pemrograman umumnya menyediakan tipe data boolean untuk data yang
bertipe logika, misalnya tipe boolean dalam Bahasa Pascal, logical dalam
Bahasa Fortran, dan sebagainya. Tipe data boolean hanya mempunyai dua buah
konstanta nilai saja, yaitu true dan false. Peubah yang bertipe boolean disebut
peubah boolean (boolean variable). Nilai peubah tersebut hanya true atau false.
Operasi boolean sering dibutuhkan dalam pemrograman. Operasi boolean
dinyatakan dalam ekspresi logika (atau dinamakan juga ekspresi boolean).
Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR, dan NOT. Ekspresi
booelan tersebut hanya menghasilkan salah satu dari dua nilai, true atau false.
Misalkan x1, x2, x3, dan x4 adalah peubah booelan dalam Bahasa Pascal, maka
ekspresi boolean di bawah ini adalah valid:
x1 and x2
x1 or (not(x2 and x3))
yang bersesuaian dengan ekspresi logika
x1 Ù x2
x1 Ú ~(x2 Ù x3)
Operasi lain dalam pemrograman yang bersesuaian dengan operasi logika adalah
operasi bit. Komputer merepresentasikan informasi dengan menggunakan bit.
Sebuah bit hanya mempunyai dua nilai, yaitu 1 atau 0. Sebuah bit dapat
digunakan untuk merepresentasikan nilai kebenaran, yaitu kita menyatakan 1
untuk merepresentasikan true (T) dan 0 untuk merepresentasikan false (F). Kita
menggunakan notasi ~, Ù, Ú, dan Å masing-masing untuk melambangkan
operator NOT, AND, OR, dan XOR. Dengan demikian, operasi bit
~ 0
1 Ù 0
0 Ú 0
1 Å 0
bersesuaian dengan operasi logika
~ F
T Ù F
F Ú F
T Å F
Operasi bit dapat diperluas untuk rangkaian bit yang panjangnya tetap, misalnya
10011011 dioperasikan dengan 01010101. Operasi ini dinamakan bitwise, dan
Bab 1 Logika 13
operasi semacam ini diguanakan untuk memanipulasi informasi. Dua buah
rangkaian bit yang panjangnya sama dapat dioperasikan dengan 3 operasi bitwise,
yaitu bitwise AND, bitwise OR, dan bitwise XOR. Jika dua buah rangkaian bit
dioperasikan dengan salah satu dari operator bitwise di atas, maka setiap bit yang
bersesuaian pada masing-masing operand dikenai operasi yang sama. Misalnya,
10011011
01010101
00010001 bitwise AND
11011111 bitwise OR
11001110 bitwise XOR
Aplikasi operasi logika lainnya ditemukan pada mesin pencarian (search engine)
di internet. Salah satu mesin pencarian yang terkenal dan banyak digunakan
orang adalah Google (www.google.com). Tersedia juga Google versi Bahasa
Indonesia (www.google.co.id). Antarmuka Google diperlihatkan pada Gambar
1.1. Mesin pencarian adalah aplikasi yang sangat penting di internet, karena
mesin pencarian mampu menampilkan semua informasi yang kita butuhkan
dalam waktu yang cepat. Hasil pencarian adalah halaman web yang berkaitan
dengan term yang kita ketikkan.
Gambar 1.1 Antarmuka mesin pencarian Google .
14 Matematika Diskrit
Operator logika AND, OR, dan NOT dapat digunakan sebagai kata hubung logika
di antara term-term yang dicari. Misalkan kita ingin mencari semua halaman web
yang berkaitan dengan “aljabar” atau “boolean”, maka term yang kita cari ditulis
sebagai
aljabar OR boolean
Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung salah satu kata “aljabar”,
“boolean”, atau kedua-duanya. Bila kita ingin mencari semua halaman web yang
tepat mengandung kata “aljabar” dan “boolean” sekaligus, maka term yang kita
ketikkan di dalam mesin pencarian ditulis sebagai
aljabar AND boolean
Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung dua kata “aljabar” dan
“boolean” sekaligus. (catatan: beberapa mesin pencarian tidak memerlukan
penulisan AND secara eksplisit).
Bila kita ingin mencari semua halaman web yang berkaitan dengan dengan topik
“aljabar” atau “boolean” dan untuk setiap topik tersebut harus berkaitan dengan
“matematika”, maka term dituliskan sebagai
(aljabar OR boolean) AND matematika
Hasilnya adalah semua halaman yang mengandung tepat kata “aljabar” dan
“matematika”, atau yang mengandung tepat kata “boolean” dan “matematika”,
atau yang sekaligus mengandung “aljabar”, “boolean”, dan “matematika”.
Gambar 1.2 memperlihatkan hasil pencarian untuk term di atas (pencarian
dilakukan pada Tanggal 22 Juni 2005 pukul 11.00 WIB. Perhatikan bahwa
informasi di internet dapat berubah setiap saat (up to date), jadi mungkin saja
pada hari ini hasil pencarian sangat berbeda dengan hasil pencarian pada tanggal
22 Juni 2005).
Bab 1 Logika 15
Gambar 1.2 Hasil pencarian untuk term “(aljabar OR boolean) AND matematika”
1.7 Proposisi Bersyarat (Implikasi)
Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga
dapat muncul berbentuk “jika p, maka q”, seperti pada contoh-contoh berikut:
a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.
b. Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri
Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat
atau kondisional atau implikasi.
DEFINISI 1.6. Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q”
disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan
p ®q
Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q
disebut konklusi (atau konsekuen).
16 Matematika Diskrit
Tabel kebenaran implikasi ditunjukkan pada Tabel 1.8. Catatlah bahwa implikasi
p ® q hanya salah jika p benar tetapi q salah, selain itu implikasi bernilai benar.
Tidak sukar memahami mengapa tabel kebenaran implikasi demikian. Hal ini
dijelaskan dengan contoh analogi berikut: Misalkan dosen anda berkata kepada
mahasiswanya di dalam kelas “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka
anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini”. Apakah dosen anda mengatakan
kebenaran atau dia berbohong? Tinjau empat kasus berikut ini:
Kasus 1: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat
nilai A untuk kuliah tersebut(konklusi benar). Pada kasus ini, pernyataan
dosen anda benar.
Kasus 2: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidak mendapat
nilai A (konklusi salah). Pada kasus ini, dosen anda berbohong (pernyataannya
salah).
Kasus 3: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda mendapat
nilai A (konklusi benar). Pada kasus ini, dosen anda tidak dapat dikatakan
salah (Mungkin ia melihat kemampuan anda secara rata-rata bagus sehingga
ia tidak ragu memberi nilai A).
Kasus 4: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda tidak
mendapat nilai A (konklusi salah). Pada kasus ini dosen anda benar.
Tabel 1.8 Tabel kebenaran implikasi
p q p ® q
T T T
T F F
F T T
F F T
Di dalam bahasa alami (bahasa percakapan manusia), seperti Bahasa Indonesia
dan Bahasa Inggris, terdapat hubungan sebab-akibat antara hipotesis dengan
konklusi, misalnya pada implikasi
“Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.”
Implikasi seeprti ini adalah normal dalam Bahasa Indonesia. Tetapi, dalam
penalaran matematik, kita memandang implikasi lebih umum daripada implikasi
dalam bahasa alami. Konsep matematik mengenai implikasi independen dari
hubungan sebab-akibat antara hipotesis dan konklusi. Definisi kita mengenai
Bab 1 Logika 17
implikasi adalah pada nilai kebenarannya, bukan didasarkan pada penggunaan
bahasa [ROS03]. Misalnya pada implikasi
“Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1 + 1 = 2”
Implikasi di atas tetap valid secara matematis meskipun tidak ada kaitan antara
Paris sebagai ibukota Perancis dengan 1 + 1 = 2. Implikasi tersebut bernilai benar
karena hipotesis benar (Paris ibukota Perancis adalah benar) dan konklusi juga
benar (1 + 1 = 2 adalah benar). Implikasi
“Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1 + 1 = 3”
bernilai salah karena hipotesis benar tetapi 1 + 1 = 3 salah.
Implikasi p ® q memainkan peranan penting dalam penalaran. Implikasi ini tidak
hanya diekspresikan dalam pernyataan standard “jika p, maka q” tetapi juga dapat
diekspresikan dalam berbagai cara, antara lain:
(a) Jika p, maka q (if p, then q)
(b) Jika p, q (if p, q)
(c) p mengakibatkan q (p implies q)
(d) q jika p (q if p)
(e) p hanya jika q (p only if q)
(f) p syarat cukup agarq (p is sufficient for q)
(g) q syarat perlu bagi p (q is necessary for p)
(i) q bilamana p (q whenever p)
Contoh-contoh berikut memperlihatkan implikasi dalam berbagai ekspresi serta
bagaimana mengubah berbagai bentuk implikasi menjadi bentuk standard “jika p,
maka q”.
Contoh 1.12
Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:
(a) Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
(b) Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
(c) Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.
(d) Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
(e) Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus
matakuliah Matematika Diskrit.
(f) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.
(g) Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain
asing kenamaan.
(h) Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi. ¾
18 Matematika Diskrit
Contoh 1.13
Ubahlah proposisi c sampai h di dalam Contoh 1.12 ke dalam bentuk proposisi “jika p,
maka q ”.
Penyelesaian:
(c) Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
(d) Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
(e) Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus
matakuliah Matematika Diskrit.
(f) Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Percikan api dari rokok adalah syarat
cukup untuk membuat pom bensin meledak” atau “Jika api memercik dari rokok
maka pom bensin meledak”
(g) Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Mengontrak pemain asing kenamaan
adalah syarat perlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia” atau “Jika Indonesia ikut
Piala Dunia maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”.
(h) Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi. ¾
Contoh 1.14
Misalkan
x : Anda berusia 17 tahun
y : Anda dapat memperoleh SIM
Nyatakan preposisi berikut ke dalam notasi implikasi:
(a) Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM.
(b) Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun.
(c) Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun.
(d) Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun.
(e) Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17 tahun.
Penyelesaian:
(a) Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Anda dapat memperoleh SIM hanya
jika anda berusia 17 tahun”. Ingat kembali bahwa p ®q bisa dibaca “p hanya jika q”.
Jadi, pernyataan yang diberikan dilambangkan dengan y ®x.
(b) Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Anda berusia 17 tahun adalah syarat
cukup untuk dapat memperoleh SIM”. Ingat kembali bahwa p ® q bisa dibaca “p
syarat cukup untuk q”. Jadi, pernyataan yang diberikan dilambangkan dengan x ®y.
(c) Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Anda berusia 17 tahun adalah syarat
perlu untuk dapat memperoleh SIM”. Ingat kembali bahwa p ® q bisa dibaca “q
syarat perlu untuk q”. Jadi, pernyataan yang diberikan dilambangkan dengan y ®x.
(d) ~y ® ~x
(e) Ingat kembali bahwa p ® q bisa dibaca “q bilamana p”. Jadi, pernyataan yang
diberikan dilambangkan dengan ~x ® ~ y. ¾
Bab 1 Logika 19
Contoh 1.15
Tunjukkan bahwa p ®q ekivalen secara logika dengan ~ p Ú q.
Penyelesaian:
Tabel 1.9 memperlihatkan bahwa memang benar p ® q Û ~ p Ú q. Dengan kata lain,
pernyataan “Jika p maka q” ekivalen secara logika dengan “Tidak p atau q”. ¾
Tabel 1.9 Tabel kebenaran p ® q dan ~ p Ú q.
p q ~ p p ® q ~ p Ú q
T T F T T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
Contoh 1.16
Tentukan ingkaran (negasi) dari p ®q.
Penyelesaian:
Dari Contoh 1.15 sudah ditunjukkan bahwa p ®q ekivalen secara logika dengan ~ p Ú q.
Gunakan hukum DeMorgan untuk menentukan ingkaran dari p ®q :
~(p ®q) Û ~(~p Ú q) Û ~(~p) Ù ~qÛp Ù ~q ¾
Contoh 1.17
Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk menarik pembeli. Pedagang
pertama mengumbar moto “Barang bagus tidak murah” sedangkan pedagang kedua
mempunyai moto “Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut
menyatakan hal yang sama?
Penyelesaian:
Untuk memeriksa apakah kedua moto tersebut sama, kita perlu membandingkan tabel
kebenaran keduanya. Misalkan p menyatakan proposisi “Barang itu bagus” sedangkan q
menyatakan “Barang itu murah”. Maka, moto pedagang pertama dapat ditulis sebagai
“Jika barang itu bagus maka barang itu tidak murah” atau p ® ~ q, sedangkan moto
kedua dapat ditulis sebagai “Jika barang itu murah maka barang itu tidak bagus” atau q ®
~ p. Tabel kebenaran untuk proposisi p ® ~ q dan proposisi q ® ~ p ditunjukkan pada
Tabel 1.10. Dari tabel tersebut dapat dilihat ternyata nilai kebenaran proposisi p ® ~ q
dan proposisi q ® ~ p sama, dengan kata lain p ® ~ q Û q ® ~ p. Jadi kita dapat
menyimpulkan bahwa kedua moto tersebut menyatakan hal yang sama. ¾
Tabel 1.10 Tabel kebenaran p ® ~ q dan q ® ~ p
20 Matematika Diskrit
p q ~ p ~ q p ® ~ q q ® ~ p
T T F F F F
T F F T T T
F T T F T T
F F T T T T
Banyak orang yang bingung mengapa bentuk “p hanya jika q” sama dengan “jika
p, maka q”. Untuk menjelaskan hal ini kita harus mengingat bahwa “p hanya jika
q” menyatakan bahwa p tidak dapat benar bila q salah. Dengan kata lain,
pernyataan “p hanya jika q” salah jika p benar, tetapi q salah. Bila p salah, q dapat
salah satu dari benar atau salah, karena pernyataan tesrebut tidak menyatakan
apa-apa tentang nilai kebenaran q [ROS03].
Implikasi dalam Bahasa Pemrograman
Struktur if-then yang digunakan pada kebanyakan bahasa pemrograman berbeda
dengan implikasi if-then yang digunakan dalam logika. Struktur if-then dalam
bahasa pemrograman berbentuk
if c then S
yang dalam hal ini c adalah sebuah ekspresi logika yang menyatakan syarat atau
kondisi, sedangkan S berupa satu atau lebih pernyataan. Ketika program dieksekusi
dan menjumpai pernyataan if-then, S dieksekusi jika c benar, tetapi S tidak
dieksekusi jika c salah.
Pernyataan if-then dalam bahasa pemrograman bukan proposisi karena tidak ada
korespondensi antara pernyataan tersebut dengan operator implikasi (®).
Penginterpretasi bahasa pemrograman (disebut interpreter atau compiler) tidak
melakukan penilaian kebenaran pernyataan if-then secara logika. Interpreter
hanya memeriksa kebenaran kondisi c, jika c benar maka S dieksekusi,
sebaliknya jika c salah maka S tidak dieksekusi. Sebagai contoh, perhatikan
Contoh 1.18 berikut ini.
Contoh 1.18
Misalkan di dalam sebuah program yang ditulis dalam Bahasa Pascal terdapat pernyataan
berikut:
if x > y then y := x + 10;
Bab 1 Logika 21
(simbol := menyatakan operator pengisian nilai, yaitu nilai ekspresi di ruas kanan simbol
:= diisikan ke dalam peubah di ruas kiri simbol :=). “x > y” adalah ekspresi logika yang
nilainya benar atau salah bergantung pada nilai x dan y, sedangkan y := x + 10 adalah
sebuah pernyataan aritmetika yang akan dieksekusi jika ekspresi logika x > y benar.
Berapa nilai y setelah pelaksanaan pernyataan if-then di atas jika nilai x dan y sebelum
pernyataan tersebut adalah (i) x = 2, y = 1, dan (ii) x = 3, y = 5?
Penyelesaian:
(i) sebelum pernyataan if-then nilai x = 2 dan y = 1, maka ekspresi x > y bernilai benar
sehingga pernyataan y := x + 10 dilaksanakan, yang mengakibatkan nilai y sekarang
menjadi y = 2 + 10 = 12.
(ii) sebelum pernyataan if-then nilai x = 3 dan y = 5, maka ekspresi x > y bernilai salah
sehingga pernyataan y := x + 10 tidak dilakukan. Dalam hal ini, nilai y tetap seperti
sebelumnya, yaitu 5. ¾
1.8 Varian Proposisi Bersyarat
Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p ® q, yaitu proposisi
sederhana yang merupakan varian dari implikasi. Ketiga variasi proposisi bersyarat
tersebut adalah konvers, invers, dan kontraposisi dari proposisi asal p ® q.
Konvers (kebalikan) : q ® p
Invers : ~ p ® ~ q
Kontraposisi : ~ q ® ~ p
Tabel 1.11 memperlihatkan tabel kebenaran dari ketiga varian proposisi bersyarat
tersebut. Dari tabel tersebut terlihat bahwa proposisi bersyarat p ® q ekivalen
secara logika dengan dengan kontraposisinya, ~ q ® ~ p.
Tabel 1.11 Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q ~ p ~ q p ® q q ®p ~ p ® ~ q ~ q ® ~ p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T
22 Matematika Diskrit
Contoh 1.19
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut
“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”
Penyelesaian:
Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil
Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya
Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia ia tidak mempunyai mobil ¾
Contoh 1.20
Tentukan kontraposisi dari pernyataan:
(a) Jika dia bersalah maka ia dimasukkan ke dalam penjara.
(b) Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif.
(c) Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar.
(d) Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapat pekerjaan itu.
(e) Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang.
(f) Cukup hari hujan agar hari ini dingin.
Penyelesaian:
(a) Jika ia tidak dimasukkan ke dalam penjara, maka ia tidak bersalah.
(b) Jika 6 bilangan negatif, maka 6 tidak lebih besar dari 0.
(c) Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Jika Iwan lulus ujian maka ia sudah
belajar”, sehingga kontraposisinya adalah “Jika Iwan tidak belajar maka ia tidak
lulus ujian”
(d) Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Jika ia mendapat pekerjaan itu maka ia
tidak terlambat”, sehingga kontraposisinya adalah “Jika ia terlambat maka ia tidak
akan mendapat pekerjaan itu”
(e) Pernyataan yang diberikan dapat ditulis kembali menjadi “Ada angin adalah syarat
perlu agar layang-layang bisa terbang” yang dalam hal ini ekivalen dengan “Jika
layang-layang bisa terbang maka hari ada angin”. Kontraposisinya adalah “Jika hari
tidak ada angin, maka layang-layang tidak bisa terbang”.
(f) Pernyataan yang diberikan dapat ditulis kembali menjadi “Hari hujan adalah syarat
cukup agar hari ini dingin”, yang dalam hal ini ekivalen dengan “Jika hari hujan
maka hari ini dingin”. Kontraposisinya adalah “Jika hari ini tidak dingin maka hari
tidak hujan”. ¾
1.9 Bikondisional (Bi-implikasi)
Proposisi bersyarat penting lainnya adalah berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang
dinamakan bikondisional atau bi-implikasi. Definisi bikondisional dikemukakan
sebagai berikut.
Bab 1 Logika 23
DEFINISI 1.7. Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jika dan hanya
jika q” disebut bikondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan dengan p«q.
Pernyataan p « q adalah benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yang
sama, yakni p « q benar jika p dan q keduanya benar atau p dan q keduanya
salah. Tabel kebenaran selengkapanya diperlihatkan pada Tabel 1.12.
Tabel 1.12 Tabel kebenaran bikondisional
p q p « q
T T T
T F F
F T F
F F T
Perhatikan bahwa bikondisional p « q ekivalen secara logika dengan (p ® q) Ù
(q ® p). Keekivalenan tersebut ditunjukkan pada Tabel 1.13. Dengan kata lain,
pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.
Tabel 1.13 p « q Û (p ® q) Ù (q ® p).
p q p « q p ® q q ® p (p ® q) Ù (q ® p)
T T T T T T
T F F F T F
F T F T F F
F F T T T T
Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional p«q dalam kata-kata, yaitu:
(a) p jika dan hanya jika q. (p if and only if q)
(b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. (p is necessary and sufficient for q)
(c) Jika p maka q, dan sebaliknya. (if p then q, and conversely)
(d) p iff q
Contoh 1.21
Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi:
(a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
(b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi.
(c) Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.
(d) Bandung terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia.
¾
24 Matematika Diskrit
Contoh 1.22
Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan hanya jika q”:
(a) Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika anda membeli es krim
maka udara di luar panas.
(b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan
banyak latihan.
(c) Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik
jabatan.
(d) Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu sebaliknya.
(e) Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya membutuhkannya.
Penyelesaian:
(a) Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas.
(b) Anda melakukan banyak latihan adalah syarat perlu dan cukup untuk anda memenangkan
pertandingan.
(c) Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.
(d) Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi.
(e) Kereta api datang terlambat jika dan hanya jika saya membutuhkan kereta hari itu.
¾
Contoh 1.23
[LIU85] Sebuah pulau didiami oleh dua suku asli. Penduduk suku pertama selalu
mengatakan hal yang benar, sedangkan penduduk dari suku lain selalu mengatakan
kebohongan. Anda tiba di pulau ini dan bertanya kepada seorang penduduk setempat
apakah di pulau tersebut ada emas atau tidak. Ia menjawab, “Ada emas di pulau ini jika
dan hanya jika saya selalu mengatakan kebenaran”. Apakah ada emas di pulau tersebut?
Penyelesaian:
Misalkan
p : saya selalu menyatakan kebenaran
q : ada emas di pulau ini
Pernyataan orang tersebut dapat dinyatakan sebagai
p«q
Tinjau dua kemungkinan kasus mengenai orang yang kita tanya tadi. Kasus 1, orang yang
memberi jawaban adalah orang dari suku yang selalu menyatakan hal yang benar. Kasus
1, orang yang memberi jawaban adalah orang dari suku yang selalu menyatakan hal yang
bohong. Kita analisis setiap kasus satu persatu sebagai berikut:
Kasus 1: orang tersebut selalu menyatakan hal yang benar. Ini berarti p benar, dan
jawabannya terhadap pertanyaan kita pasti juga benar, sehingga pernyataan bi-implikasi
tersebut bernilai benar. Dari Tabel 1.12 kita melihat bahwa bila p benar dan p«q benar,
maka q harus benar. Jadi, ada emas di pulau tersebut adalah benar.
Bab 1 Logika 25
Kasus 2: orang tersebut selalu menyatakan hal yang bohong. Ini berarti p salah, dan
jawabannya terhadap pertanyaan kita pasti juga salah, sehingga pernyataan bi-implikasi
tersebut salah. Dari Tabel 1.12 kita melihat bahwa bila p salah dan p « q salah, maka q
harus benar. Jadi, ada emas di pulau tersebut adalah benar.
Dari kedua kasus, kita selalu berhasil menyimpulkan bahwa ada emas di pulau tersebut,
meskipun kita tidak dapat memastikan dari suku mana orang tersebut. ¾
Tinjau kembali bahasan dua buah proposisi majemuk yang ekivalen secara
logika. Kita juga dapat menggunakan definisi bikondisional untuk menyatakan
keekivalenan. Ingatlah bahwa bikondisional bernilai benar jika kedua proposisi
atomiknya mempunyai nilai kebenaran sama. Oleh karena itu, bila dua proposisi
majemuk yang ekivalen di-bikondisionalkan, maka hasilnya adalah tautologi. Hal
ini kita nyatakan pada definisi 1.8 berikut ini.
DEFINISI 1.8. Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen
secara logika, dilambangkan dengan P(p, q, …) Û Q(p, q, …), jika P « Q adalah
tautologi.
Definisi 1.8 di atas mudah dimengerti. Dari tabel kebenaran bikondisional pada
Tabel 1.12 kita melihat bahwa bikondisional hanya benar jika kedua proposisi
mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika dua proposisi majemuk mempunyai
tabel kebenaran yang sama, maka bikondisional terhadap kedua proposisi majemuk
tersebut menghasilkan nilai yang semuanya benar, dengan kata lain tautologi.
Contoh 1.23
Tinjau kembali Contoh 1.9 Kita sudah membuktikan bahwa ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q.
Keekivalenan ini dapat juga kita tunjukkan dengan membikondisionalkan masing-masing
proposisi majemuk tersebut. Dari Tabel 1.14 terlihat bahwa ~(p Ù q) « ~p Ú ~q tautologi,
dengan kata lain ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q. ¾
Tabel 1.14 ~(p Ù q) « ~p Ú ~q adalah tautologi
p q ~ p Ú ~ q ~ (p Ù q) ~(p Ù q) « ~p Ú ~q
T T F F T
T F T T T
F T T T T
F F T T T
26 Matematika Diskrit
1.10 Inferensi
Misalkan kepada kita diberikan beberapa proposisi. Kita dapat menarik
kesimpulan baru dari deret proposisi tersebut. Proses penarikan kesimpulan
penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi disebut inferensi (inference).
Di dalam kalkulus proposisi, terdapat sejumlah kaidah inferensi, beberapa di
antaranya adalah sebagai berikut:
1. Modus Ponen atau law of detachment
Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p Ù (p ® q)) ® q, yang dalam hal ini, p
dan p ® q adalah hipotesis, sedangkan q adalah konklusi. Kaidah modus ponen
dapat ditulis dengan cara:
p ® q
p
\ q
Simbol \ dibaca sebagai “jadi” atau “karena itu”. Modus ponen menyatakan
bahwa jika hipotesis p dan dan implikasi p ® q benar, maka konklusi q benar.
Contoh 1.24
Misalkan implikasi “Jika 20 habis dibagi 2,maka 20 adalah bilangan genap” dan hipotesis
“20 habis dibagi 2” keduanya benar. Maka menurut modus ponen, inferensi berikut:
“Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap. 20 habis
dibagi 2. Karena itu, 20 adalah bilangan genap”
adalah benar. Kita juga dapat menuliskan inferensi di atas sebagai:
Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap
20 habis dibagi 2
\ 20 adalah bilangan genap
¾
2. Modus Tollen
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q Ù (p ® q)] ® ~p, Kaidah ini modus
tollens ditulis dengan cara:
p ® q
~ q
\ ~ p
Bab 1 Logika 27
Contoh 1.25
Misalkan implikasi “Jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil” dan hipotesis “n2
bernilai genap” keduanya benar. Maka menurut modus tollen, inferensi berikut
Jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil
n2 bernilai genap
\ n bukan bilangan ganjil
adalah benar. ¾
3. Silogisme Hipotetis
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p ® q) Ù (q ® r)] ® (p ® r). Kaidah
silogisme ditulis dengan cara:
p ® q
q ® r
\ p ® r
Contoh 1.26
Misalkan implikasi “Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian” dan implikasi
“Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah” adalah benar. Maka menurut kaidah
silogisme, inferensi berikut
Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian
Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah
\ Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah
adalah benar. ¾
4. Silogisme Disjungtif
Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p Ú q) Ù ~p] ® q . Kaidah silogisme
disjungtif ditulis dengan cara:
p Ú q
~ p
\ q
28 Matematika Diskrit
Contoh 1.27
Inferensi berikut:
“Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan.
Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu, saya menikah tahun depan.”
menggunakan kaidah silogisme disjungtif, atau dapat ditulis dengan cara:
Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan.
Saya tidak belajar dengan giat.
\ Saya menikah tahun depan.
¾
5. Simplifikasi
Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p Ù q) ® p, yang dalam hal ini, p dan q
adalah hipotesis, sedangkan p adalah konklusi. Kaidah simplifikasi ditulis dengan
cara:
p Ù q
\ p
Contoh 1.28
Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:
“Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar. Karena itu, Hamid
adalah mahasiswa ITB.”
menggunakan kaidah simplifikasi, atau dapat juga ditulis dengan cara:
Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar.
\ Hamid adalah mahasiswa ITB.
Simplifikasi berikut juga benar:
“Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar. Karena itu, Hamid
adalah mahasiswa Unpar”
karena urutan proposisi di dalam konjungsi p Ù q tidak mempunyai pengaruh apa-apa. ¾
Bab 1 Logika 29
6. Penjumlahan
Kaidah ini didasarkan pada tautologi p ® (p Ú q). Kaidah penjumlahan ditulis
dengan cara:
p
\ p Ú q
Contoh 1.29
Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:
“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Karena itu, Taslim mengambil
kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma.”
menggunakan kaidah penjumlahan, atau dapat juga ditulis dengan cara:
Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit.
\ Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau
mengulang kuliah Algoritma
¾
7. Konjungsi
Kaidah ini didasarkan pada tautologi ((p) Ù (q)) ® (p Ù q). Kaidah konjungsi
ditulis dengan cara:
p
q
\ p Ù q
Contoh 1.30
Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:
“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang
kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika
Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma”
menggunakan kaidah konjungsi, atau dapat juga ditulis dengan cara:
Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit.
Taslim mengulang kuliah Algoritma.
\ Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan
mengulang kuliah Algoritma.
¾
30 Matematika Diskrit
1.11 Argumen
Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai
p1
p2
M
pn
\ q
yang dalam hal ini, p1, p2, …, pn disebut hipotesis (atau premis), dan q disebut
konklusi.
Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid). Catatlah bahwa kata “valid”
tidak sama maknanya dengan “benar” (true).
Definisi 1.9. Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bilamana semua
hipotesisnya benar; sebaliknya argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid).
Jika argumen sahih, maka kadang-kadang kita mengatakan bahwa secara logika
konklusi mengikuti hipotesis atau sama dengan memperlihatkan bahwa implikasi
(p1 Ù p2 Ù ¼ Ù pn) ® q
adalah benar (yaitu, sebuah tautologi). Argumen yang palsu menunjukkan proses
penalaran yang tidak benar.
Contoh 1.31
Perlihatkan bahwa argumen berikut:
“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.
Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”
adalah sahih.
Penyelesaian:
Misalkan p adalah proposisi “Air laut surut setelah gempa di laut” dan q adalah proposisi
“tsunami datang”. Maka, argumen di dalam soal dapat ditulis sebagai:
p ®q
p
\ q
Bab 1 Logika 31
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihan argumen ini.
Keduanya menggunakan tabel kebenaran.
Cara 1: Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p ®q
Tabel 1.15 Tabel kebenaran untuk p, q, dan p® q
p q p ®q
T T T (baris 1)
T F F (baris 2)
F T T (baris 3)
F F T (baris 4)
sahih jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar. Kita periksa apabila
hipotesis p dan p ® q benar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan
benar. Periksa di Tabel 1.15, p dan p ® q benar secara bersama-sama pada baris 1. Pada
baris 1 ini q juga benar. Jadi, argumen yang berbentuk modus ponen di atas sahih.
Cara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah
[ p Ù (p ®q) ] ®p
merupakan tautologi. Tabel 1.16 memperlihatkan bahwa [ p Ù (p ® q) ] ® p suatu
tautologi, sehingga argumen dikatakan sahih.
Tabel 1.16 [ p Ù (p® q) ] ® p adalah tautologi
p q p ® q p Ù (p ®q) [ p Ù (p ®q) ] ®p
T T T T T
T F F F T
F T T F T
F F T F T
Perhatikanlah bahwa penarikan kesimpulan di dalam argumen ini menggunakan modus
ponen. Jadi, kita kita juga telah memperlihatkan bahwa modus ponen adalah argmen yang
sahih. ¾
Contoh 1.32
Perlihatkan bahwa penalaran pada argumen berikut:
“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.
Tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut”
tidak benar, dengan kata lain argumennya palsu.
32 Matematika Diskrit
Penyelesaian:
Argumen di atas berbentuk
p ®q
q
\ p
Dari Tabel 1.15 pada Contoh 1.31 tampak bahwa hipotesis q dan p ®q benar pada baris
ke-3, tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah. Jadi, argumen tersebut tidak sahih atau
palsu, sehingga penalaran menjadi tidak benar.
Kita juga bisa menunjukkan dengan Tabel 1.17 bahwa [ q Ù (p ® q) ] ® p bukan
tautologi, sehingga argumen dikatakan tidak sahih. ¾
Tabel 1.17 [ q Ù (p® q) ] ® p bukan tautologi
p q p ® q q Ù (p ®q) [ q Ù (p ®q) ] ®p
T T T T T
T F F F T
F T T T F
F F T F T
Contoh 1.33
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima.
5 tidak lebih kecil dari 4.
\ 5 adalah bilangan prima
Penyelesaian:
Misalkan p adalah proposisi “5 lebih kecil dari 4” dan q adalah proposisi “5 adalah
bilangan prima”. Maka argumen di atas berbentuk:
p ® ~q
~p
\ q
Tabel 1.18 memperlihatkan tabel kebenaran untuk kedua hipotesis dan konklusi tersebut.
Baris ke-3 dan ke-4 pada tabel tersebut adalah baris di mana p ® ~q dan ~ p benar secara
bersama-sama, tetapi pada baris ke-4 konklusi q salah (meskipun pada baris ke-3
konklusi q benar). Ini berarti argumen tersebut palsu.
Bab 1 Logika 33
Perhatikanlah bahwa meskipun konklusi dari argumen tersebut kebetulan merupakan
pernyataan yang benar (“5 adalah bilangan prima” adalah benar), tetapi konklusi dari
argumen ini tidak sesuai dengan bukti bahwa argumen tersebut palsu. ¾
Tabel 1.18 Tabel kebenaran untuk p® ~q, ~p, dan q
p q ~q p ® ~q ~ p
T T F F F
T F T T F
F T F T T
F F T T T
Contoh 1.34
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
Jika 17 adalah bilangan prima, maka 3 tidak habis membagi 17.
3 habis membagi 17.
\ 17 bukan bilangan prima
Penyelesaian:
Misalkan p adalah proposisi “17 adalah bilangan prima” dan q adalah proposisi “3 habis
membagi 17”. Maka argumen di atas berbentuk:
p ® ~ q
q
\ ~ p
Tabel 1.18 digunakan kembali untuk memperlihatkan tabel kebenaran untuk kedua
hipotesis dan konklusi tersebut. Baris ke-3 pada tabel tersebut adalah baris di mana
hipotesis p ® ~q dan q benar secara bersama-sama. Pada baris ke-3 ini, konklusi ~p juga
benar. Ini berarti argumen tersebut sahih.
Perhatikanlah bahwa meskipun argumen tersebut sahih, tetapi konklusi dari argumen
tersebut kebetulan merupakan pernyataan yang salah (“17 bukan bilangan prima” adalah
salah). Hal ini disebabkan karena premis yang salah (“3 habis membagi 17”) digunakan di
dalam argumen, yang mengakibatkan konklusi dari argumen salah. ¾
Contoh 1.34 ini memperlihatkan bahwa argumen yang sahih dapat mengarah ke
konklusi yang salah jika satu atau lebih dari proposisi salah digunakan di dalam
argumen. Moral dari cerita ini adalah bahwa pada suatu argumen yang benar kita
tidak mengatakan bahwa konklusinya benar; kita hanya mengatakan bahwa jika
kita menjamin hipotesisnya benar, maka kita juga menjamin konklusinya benar.
34 Matematika Diskrit
Contoh 1.35
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
Jika saya menyukai Informatika, maka saya belajar sungguh-sungguh.
Saya belajar sungguh-sungguh atau saya gagal.
\ Jika saya gagal, maka saya tidak menyukai Informatika.
Penyelesaian:
Misalkan p adalah proposisi “Saya menyukai Informatika” dan q adalah proposisi “Saya
belajar sungguh-sungguh”, dan r adalah proposisi “Saya gagal”. Maka argumen di atas
berbentuk:
p ®q
q Ú r
\ r ® ~ p
Tabel kebenaran untuk memeriksa kesahihan argumen tersebut ditunjukkan pada Tabel
1.19. Baris ke-1, 2, 6 dan 7 adalah baris di mana premis p ® q dan q Ú r benar secara
bersama-sama, tetapi pada baris ke-1 konklusi r ® ~ p salah (meskipun pada baris yang
2, 6, dan 7 konklusi tersebut benar), sehingga argumen adalah palsu. ¾
Tabel 1.19 Tabel kebenaran untuk p® q, q Ú r, dan r ® ~ p
p q r p ®q q Ú r ~p r ® ~ p
T T T T T F F
T T F T T F T
T F T F T F F
T F F F T F T
F T T T F T T
F T F T T T T
F F T T T T T
F F F T F T T
Bab 1 Logika 35
1.12 Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary
Di dalam matematika maupun ilmu komputer, kita sering menemukan kata-kata
seperti aksioma, teorema, lemma, dan corolarry.
Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar. Aksioma tidak memerlukan
pembuktian kebenaran lagi.
Contoh-contoh aksioma:
(a) Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif
penjumlahan).
(b) Jika diberikan dua buah titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus
yang melalui dua buah titik tersebut.
Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Bentuk khusus dari
teorema adalah lemma dan corolarry. Lemma adalah teorema sederhana yang
digunakan dalam pembuktian teorema lain. Lemma biasanya tidak menarik
namun berguna pada pembuktian proposisi yang lebih kompleks, yang dalam hal
ini pembuktian tersebut dapat lebih mudah dimengerti bila menggunakan
sederetan lemma, setiap lemma dibuktikan secara individual [ROS03]. Corollary
adalah teorema yang dapat dibentuk langsung dari teorema yang telah dibuktikan,
atau dapat dikatakan corollary adalah teorema yang mengikuti dari teorema lain.
Contoh-contoh teorema:
(a) Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang
berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.
(b) Untuk semua bilangan real x, y, dan z, jika x £ y dan y £ z, maka x £ z
(hukum transitif).
Contoh corollary:
Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut.
Corollary ini mengikuti teorema (a) di atas.
Contoh lemma:
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n – 1 bilangan positif atau n – 1 = 0.
1.13 Ragam Contoh Soal dan Penyelesaian
Untuk lebih memantapkan pemahaman terhadap materi logika proposisi, berikut
ini diberikan sejumlah soal dan penyelesaiannya.
36 Matematika Diskrit
Contoh 1.36
Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar
Matematika”.
(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik (ekspresi logika)
(b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut
(Petunjuk: gunakan hukum De Morgan)
Penyelesaian:
Misalkan
p : Dia belajar Algoritma
q : Dia belajar Matematika
maka,
(a) ~ (p Ù ~ q)
(b) ~ (p Ù ~ q) Û ~ p Ú q (Hukum De Morgan)
dengan kata lain: “Dia tidak belajar Algoritma atau belajar Matematika”
¾
Contoh 1.37
Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan p : Pelayanannya baik, dan q : Tarif
kamarnya murah, r : Hotelnya berbintang tiga.
Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik (menggunakan p, q, r):
(a) Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya buruk.
(b) Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidak keduanya.
(c) Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murah dan pelayanannya
buruk.
Penyelesaian:
(a) qÙ ~ p
(b) ~ qÅ p
(c) ~ (r ®(qÙ ~ p)) ¾
Contoh 1.39
Nyatakan pernyataan berikut “Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu
jika anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau anda sudah menikah”.
Bab 1 Logika 37
Penyelesaian:
Misalkan
p : Anda berusia di bawah 17 tahun.
q : Anda sudah menikah.
r : Anda dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu.
maka pernyataan di atas dapat ditulis sebagai
(p Ù ~ q) ® ~ r ¾
Contoh 1.40
Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah agar anda bisa log on ke
server”
(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.
(b) Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan
p : Anda bisa log on ke server
q : Memiliki password yang sah
maka
(a) Jika anda bisa log on ke server maka anda memiliki password yang sah
(b) 1) Ingkaran:
“Anda bisa log on ke server dan anda tidak memiliki password yang sah”
2) Konvers:
“Jika anda memiliki password yang sah maka anda bisa log on ke server”
3) Invers:
“Jika anda tidak bisa log on ke server maka anda tidak memiliki password
yang sah”
4) Kontraposisi :
“Jika anda tidak memiliki password yang sah maka anda tidak bisa log on
ke server”
¾
Contoh 1.41
Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu kupon undian, Anda cukup membeli dua
produk senilai Rp 50.000,-”.
(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.
(b) Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.
38 Matematika Diskrit
Penyelesaian:
Misalkan
p : Anda mendapatkan satu kupon undian
q : Anda membeli dua produk senilai Rp 50.000,-
maka
(a) Jika Anda membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-, maka Anda mendapatkan
satu kupon undian.
(b) 1) Ingkaran:
“Anda membeli dua produk senilai Rp. 50.000,- dan Anda tidak
mendapatkan satu kupon undian.”
2) Konvers:
“Jika Anda mendapatkan satu kupon undian, maka Anda membeli dua
produk Rp. 50.000,-”
3) Invers:
“Jika Anda tidak membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-, maka Anda tidak
mendapatkan satu kupon undian.”
4) Kontraposisi :
“Jika Anda tidak mendapatkan satu kupon undian, maka Anda tidak
membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”
¾
Contoh 1.42
Tentukan ingkaran dan kontraposisi dari pernyataan berikut: “Dia tidak pergi ke kampus
maupun ke perpustakaan bilamana hari ini hujan”.
Penyelesaian:
Misalkan
p : Dia pergi ke kampus
q : Dia pergi ke perpustakaan
r : Hari ini hujan
Maka kalimat di atas dapat dituliskan dalam bentuk:
r ®(~ pÙ ~ q)
Untuk menentukan ingkarannya, terapkan hukum-hukum logika sebagai berikut:
~ (r ®(~ pÙ ~ q)) Û ~ (~ r Ú (~ pÙ ~ q))
Û rÙ ~ (~ pÙ ~ q)
Û r Ù (p Ú q)
Jadi ingkarannya adalah
“Hari ini hujan, dan dia pergi ke kampus atau ke perpustakaan”
Bab 1 Logika 39
Untuk menentukan kontraposisinya, terapkan hukum-hukum logika sebagai berikut:
~ (~ pÙ ~ q)®~ r Û (p Ú q)®~ r
Jadi kontraposisinya adalah
“Jika dia pergi ke kampus atau ke perpustakaan, maka hari ini tidak hujan”
¾
Contoh 1.43
Tunjukkan bahwa [~p Ù (p Ú q)] ®q adalah tautologi.
Penyelesaian:
Buat tabel kebenaran sebagai berikut:
Tabel 1.21 Tabel kebenaran [~p Ù (p Ú q)] ® q
p q ~p p Ú q ~p Ù (p Ú q) [~p Ù (p Ú q)] ? q
T T F T F T
T F F T F T
F T T T T T
F T T F F T
Dari Tabel 1.21 terlihat bahwa [ ~ p Ù ( p Ú q) ] ? q adalah tautologi.
¾
Contoh 1.44
Sebagian besar orang percaya bahwa harimau Jawa sudah lama punah. Tetapi, pada suatu
hari Amir membuat pernyataan-pernyataan kontroversial sebagai berikut:
(a) Saya melihat harimau di hutan.
(b) Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya juga melihat srigala.
Misalkan kita diberitahu bahwa Amir kadang-kadang suka berbohong dan kadang-kadang
jujur. Gunakan tabel kebenaran untuk memeriksa apakah Amir benar-benar melihat
harimau di hutan?
Penyelesaian:
Misalkan
p : Amir melihat harimau di hutan
q : Amir melihat srigala
Pernyataan untuk soal (a) adalah p sedangkan pernyataan untuk (b) adalah p ® q. Tabel
kebenaran untuk p dan p ®q ditunjukkan pada Tabel 1.22.
40 Matematika Diskrit
Tabel 1.22 Tabel kebenaran p dan p ® q
p q p ? q
T T T
T F F
F T T
F F T
Bila Amir dianggap berbohong, maka apa yang dikatakan Amir itu keduanya salah, atau
bila dia dianggap jujur maka apa yang dikatakan Amir itu keduanya benar. Tabel 1.22
menunjukkan bahwa mungkin bagi q dan p ® q benar, tetapi tidak mungkin keduanya
salah. Ini berarti Amir mengatakan yang sejujurnya, dan kita menyimpulkan bahwa Amir
memang benar melihat harimau di hutan.
Anda juga dapat menjawab soal ini tanpa menggunakan tabel kebenaran. Tinjau dua
kasus. Kasus pertama, Amir berbohong, maka apa yang dikatakan Amir itu keduanya
salah. Ini berarti p salah, dengan demikian implikasi p ® q pasti benar apa pun nilai
kebenaran pernyataan q. Ini jelas kontradiksi. Jadi, pastilah Amir benar (kasus kedua),
yang berarti Amir memang benar melihat harimau di hutan. ¾
Contoh 1.45
Periksa kesahihan argumen berikut:
p ® ~q
~ r ®p
q
\ r
Contoh argumen nyatanya adalah sebagai berikut:
“Jika saya pulang kampung, maka saya tidak bisa mengikuti ujian susulan.
Jika saya tidak lulus ujian, maka saya pulang kampung. Tetapi saya bisa
mengikuti ujian susulan. Oleh karena itu saya lulus ujian.
Penyelesaian:
Tabel kebenaran untuk memeriksa kesahihan argumen tersebut ditunjukkan pada Tabel
1.23. Baris 5 adalah baris di mana premis p ® ~q, ~ r ® p, dan q benar secara
bersama-sama, dan pada baris ini juga konklusi r benar, sehingga argumen tersebut sahih.¾
Tabel 1.23 Tabel kebenaran untuk p® ~ q, ~r ® p, q, dan r
p q r ~ q p ® ~ q ~ r ~ r ®p
T T T F F F T
T T F F F T T
T F T T T F T
T F F T T T T
Bab 1 Logika 41
F T T F T F T
F T F F T T F
F F T T T F T
F F F T T T F
Soal Latihan
42 Matematika Diskrit
1. Tentukan pernyataan manakah di bawah ini yang merupakan proposisi? Tentukan
nilai kebenaran dari pernyataan yang merupakan proposisi.
(a) 3 + 15 = 17
(b) Untuk beberapa bilangan bulat n, 600 = n . 15
(c) x + y = y + x untuk setiap psangan bilangan riil x dan y
(d) Setiap bilangan bulat genap lebih dari empat merupakan penjumlahan
dua bilangan prima
(e) Tidak ada orang utan hidup di kota
(f) Ambil 5 buah buku di atas meja
(g) 4 + x = 5
2. Misalkan p adalah “Iwan bisa berbahasa Inggris”, q adalah “Iwan bisa
berbahasa Jerman” dan r adalah “Iwan bisa berbahasa Perancis”. Terjemahkan
kalimat majemuk berikut ke dalam notasi simbolik:
(a) Iwan bisa berbahasa Inggris atau Jerman
(b) Iwan bisa berbahasa Jerman tetapi tidak bahasa Perancis
(c) Iwan bisa berbahasa Inggris atau bahasa Jerman, atau dia tidak bisa
berbahasa Perancis atau bahasa Jerman
(d) Tidak benar bahwa Iwan bisa berbahasa Inggris atau bahasa Perancis
(e) Tidak benar bahwa Iwan bisa berbahasa Inggris atau bahasa Perancis
tetapi tidak bahasa Jerman
(f) Tidak benar bahwa Iwan tidak bisa berbahasa Inggris, Perancis, maupun
Jerman
3. Untuk menerangkan karakteristik mata kuliah X, misalkan p : “Kuliahnya
menarik”, dan q : “Dosennya enak”, r : “Soal-soal ujiannya mudah”.
Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik
(menggunakan p, q, r):
(d) Kuliahnya tidak menarik, dosennya tidak enak, dan soal-soal ujiannya
tidak mudah.
(e) Kuliahnya menarik atau soal-soal ujiannya tidak mudah, namun tidak
keduanya.
(f) Salah bahwa kuliahnya menarik berarti dosennya enak dan soal-soal
ujiannya mudah.
4. Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun
pendapatan tidak naik”
(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik.
(b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan
tersebut (petunjuk: gunakan Hukum de Morgan).
Bab 1 Logika 43
5. Untuk menerangkan mutu sebuah perangkat lunak yang beredar di pasaran,
kita misalkan p adalah pernyataan “Tampilan antarmukanya (interface)
menarik”, q pernyataan “Cara pengoperasiannya mudah”, dan r pernyataan
“Perangkat lunaknya bagus sekali”. Tuliskan pernyataan berikut dalam
bentuk simbolik:
(a) Tidak benar bahwa tampilan antarmukanya menarik maupun cara
pengoperasiannya sulit.
(b) Tampilan antarmukanya menarik atau cara pengoperasiannya mudah,
namun tidak keduanya.
(c) Perangkat lunak yang bagus sekali selalu berarti bahwa tampilan
antarmukanya menarik dan cara pengoperasiannya mudah, begitu
sebaliknya.
6. Nyatakan proposisi berikut dalam notasi simbolik:
(a) Setiap dokumen dipindai dengan program anti virus bilamana dokumen
berasal dari sistem yang tidak dikenal.
(b) Setiap dokumen yang berasal dari sistem yang tidak dikenal tetapi ia
tidak dipindai dengan program anti virus.
(c) Perlu memindai dokumen dengan progarm anti virus bilamana ia berasal
dari sistem yang tidak dikenal.
(d) Bila pesan tidak dikirim dari sistem yang tidak dieknal, ia tiadk dipindai
dengan program anti virus.
7. Misalkan p adalah “Hari ini adalah Hari Rabu”, q adalah “Hujan turun” dan r
adalah “Hari ini panas”. Terjemahkan notasi simbolik ini dengan kata-kata:
(a) p Ú q (c) ~(p Ú q) Ù r (e) (p Ù (q Ù r)) Ù (r Ú (q Ú p))
(b) ~p Ù (q Ú r) (d) (p Ù q) Ù ~(r Ú p) (f) ~q ® ~p
8. Tuliskan tabel kebenaran untuk setiap proposisi berikut:
(a) (p Ú q) Ù ~p (c) (~p Ú ~q) Úp (e) (p Ú q) ® ~q
(b) ~(p Ù q) Ú (~q Ú r) (d) ~(p Ù q) (r Ù ~p) (f) (~q ® p) ® (p ® ~q)
9. Nyatakan apakah setiap implikasi berikut benar atau salah:
(a) Jika 2 + 2 = 4, maka 3 + 3 = 5
(b) Jika 1 + 1 = 2, maka Tuhan ada
(c) Jika 2 + 2 = 4, maka 4 adalah bilangan prima
(d) Jika 3 < 6, maka 6 < 2
10. Nyatakan setiap proposisi berikut menjadi proposisi bersyarat “jika p, maka q”:
(a) Dian bisa lulus sarjana apabila ia telah menyelesaikan 144 SKS.
(b) Sebuah program hanya bisa dibaca jika ia terstruktur dengan baik.
44 Matematika Diskrit
(c) Syarat cukup bagi Lukman untuk mengambil kuliah Algoritma dan
Pemrograman adalah ia sudah lulus kuliah Matematika Diskrit.
(d) Perlu ada salju agar Hesnu bisa bermain ski.
(e) Anda hanya mendapat jaminan barang hanya jika anda mengembalikan
kartu garansi kurang dari sebulan sejak pembelian.
(f) Untuk mendapat gelar doktor, cukup anda kuliah di Universitas X.
(g) Perlu mendaki 100 meter lagi untuk mencapai puncak gunung Semeru.
11. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari soal nomor 10 di atas.
12. Nyatakan ingkaran, konvers dan kontraposisi dari implikasi berikut:
(a) Saya masuk kuliah bilamana ada kuis.
(b) Sebuah bilangan positif hanya prima jika ia tidak mempunyai pembagi
selain 1 dan dirinya sendiri.
(c) Dia pergi ke kampus bilamana hari ini tidak mendung maupun hujan.
(d) Sebuah program dikatakan bagus hanya jika waktu eksekusinya singkat
atau kebutuhan memorinya sedikit
13. Jika pernyataan p ® q salah, tentukan nilai pernyataan (~p Ú ~q) ® q
14. Jika pernyataan p ® q benar, dapatkah anda memastikan nilai pernyataan ~p
Ú (p « q)
15. Manakah dari kalimat berikut yang menyatakan “atau” sebagai inclusive or
atau exclusive or?
(a) Untuk mengambil kuliah Matematika Diskrit, anda harus sudah mengambil
kuliah Kalkulus atau Pengantar Teknologi Informasi
(b) Sekolah diliburkan jika banjir melebihi 1 meter atau jika hujan masih
belum berhenti
(c) Jika anda membeli sepeda motor saat ini, anda mendapat potongan Rp
500.000,- atau voucher BBM sebesar 2% dari harga motor.
(d) Untuk makan malam, tamu boleh memesan 2 macam sup atau 1 macam
bistik.
16. Gunakan tabel kebenaran untuk memperlihatkan hukum distributif p Ù (q Ú r)
Û (p Ù q) Ú (q Ù r).
17. Perlihatkan bahwa (p ® q) ® r dan p ® (q ® r) tidak ekivalen.
18. Gunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa tiap implikasi berikut
adalah tautologi:
(a) ~p ® (p ® q)
Bab 1 Logika 45
(b) ~(p ® q) ® ~q
(c) (p Ù q) ® (p ® q)
19. Gunakan hukum-hukum aljabar proposisi untuk menunjukkan bahwa
(i) (p Ù q) ® (p Ú q) dan (ii) [p Ù (p ® q)] ® q keduanya adalah tautologi.
20. Ada sebuah kampung yang penduduknya selalu mengatakan hal yang benar
atau selalu bohong. Penduduk kampung hanya memberikan jawaban “ya”
atau “tidak” terhadap pertanyaan yang diajukan oleh pendatang. Misalkan
anda adalah seorang pendatang yang baru sampai ke kampung tersebut dan
hendak pergi ke kampung lain. Anda sedang berada pada sebuah pertigaan
jalan. Satu cabang jalan menuju kota, sedangkan cabang jalan lainnya menuju
ke jurang, namun anda tidak tahu cabang mana yang menuju ke kota tujuan
(tidak ada penunjuk arah). Kebetulan di pertigaan tersebut ada seorang warga
kampung sedang berdiri, namanya Z. Sebutkan sebuah pertanyaan yang harus
anda ajukan ke warga tersebut untuk menentukan cabang jalan mana yang
akan anda ambil?
Petunjuk: Misalkan p adalah pernyataan, “Z selalu mengatakan sebenarnya”
dan q pernyataan, “Jalan yang berbelok ke kiri menuju kota”. Formulasikan
pernyataan A yang tersusun dari p dan q sedemikian rupa sehingga Z akan
menjawab pertanyaan “Apakah A benar” dengan “ya” jika dan hanya jika q
benar.
21. Periksalah kesahihan argumen-argumen berikut:
(a) Jika hari panas, Anton mimisan. Hari tidak panas. Oleh karena itu, Anton
tidak mimisan.
(b) Jika hari panas, Anton mimisan. Anton tidak mimisan. Oleh karena itu,
hari tidak panas.
(c) Jika Anton mimisan, maka hari panas. Hari tidak panas. Oleh karena itu,
Anton mimisan.
(d) Jika hari tidak panas, Anton tidak mimisan. Hari panas. Oleh karena itu,
Anton mimisan.
(e) Jika Anton tidak mimisan, hari tidak panas. Anton mimisan. Oleh karena
itu, hari panas.
22. Periksa kesahihan argumen berikut:
Terlambat mengumpulkan tugas lebih baik daripada tidak ada.
46 Matematika Diskrit
Tiada yang lebih baik daripada mendapat nilai E
\ Terlambat mengumpulkan tugas lebih baik daripada mendapat nilai E

APLIKASI MANAJEMEN PENGETAHUAN BAGI PEMBELAJARAN ORGANISASI

PENULIS:
RD. FUNNY MUSTIKASARI ELITA
Abstract
An Organization should bring its vision and mission into action to a manage its
knowledge effectively so it can compete with other organizations. On of the ways is by
applying knowledge management. Knowledge management is an effort to manage knowledge
in on organization. It is intent to enable the organization to be learning organization where in
the end working and learning become the same in an organization.
Therefore, an organization need notonly a good database but knowledge base.
Knowledge base can only be formed if the organization has known the resources it has and
know which can be used and how to utilized them. Each organization conduct its knowledge
management is different way. Each of them has knowledge assets and unique challenges in
its own organization. It has its own process and can measure its success in different way.
PENDAHULUAN.
Pada era informasi memunculkan karakteristik masyarakat informasi dimana
keberadaan informasi menjadi sangat penting dan menjadi salah satu kebutuhan pokok bagi
setiap orang. Bagi masyarakat informasi banyak aspek kehidupan sangat bergantung kepada
informasi. Tanpa informasi, kehidupan masyarakat informasi tidak akan berjalan sesuai
dengan yang diharapkan, dan didalam melakukan setiap kegiatannya, masyarakat informasi
akan selalu membutuhkan informasi dan semakin menuntut informasi yang cepat, aktual,
akurat, dan relevan. Informasi tersebut senantiasa mengisi segala aspek kehidupan, mulai dari
lingkup individu, keluarga, sosial, hingga lingkup kelompok dan organisasi. Begitu pula bagi
suatu organisasi, apapun jenis organisasinya, informasi merupakan salah satu jenis
sumberdaya yang paling utama. Karena informasi, orang-orang di dalam suatu organisasi
memutuskan untuk melakukan atau tidak melakukan sesuatu, sehingga informasi menjadi
penuntun bagi siapapun saat melakukan aktivitas keorganisasian. Dari sinilah kemudian
muncul apa yang dinamakan pengetahuan.
Pengetahuan dari organisasi dapat menjadikan organisasi tersebut memahami tujuan
keberadaannya. Diantara tujuan yang terpenting adalah bagaimana organisasi memahami cara
mencapai tujuannya. Organisasi-organisasi yang sukses, adalah organisasi yang secara
konsisten menciptakan pengetahuan baru dan menyebarkannya secara menyeluruh didalam
organisasinya, dan secara cepat mengadaptasinya kedalam teknologi dan produk serta
layanan mereka. Melihat perannya yang begitu penting bagi suatu organisasi, maka semua
pengetahuan yang dimiliki oleh suatu organisasi harus dikelola dengan baik, sehingga
pengetahuan tersebut dapat berperan optimal untuk organisasinya. Bentuk dan kemampuan
organisasi dalam mengelola pengetahuan sangat mempengaruhi kualitas pengetahuan yang
dihasilkan dan juga akan mempengaruhi kualitas hubungan atau integrasi di antara
komponen-komponennya.
Sehubungan dengan paparan tersebut, akhir - akhir ini banyak organisasi yang telah
menjadikan manajemen pengetahuan (Knowledge Management) sebagai salah satu strategi
untuk menciptakan nilai, meningkatkan efektivitas dan produktifitas organisasi, serta
keunggulan kompetitif organisasi. Mereka mulai menerapkan manajemen pengetahuan dalam
rangka peningkatan kinerja usaha dan daya tahan organisasi mereka. Dalam lingkungan yang
sangat cepat berubah, pengetahuan akan mengalami keusangan oleh sebab itu perlu terus
menerus diperbarui melalui proses pembelajaran.
PERAN PENGETAHUAN BAGI ORGANISASI
Pengetahuan manusia dimulai sejak manusia mengenal informasi, yaitu informasi
mengenai apa yang sedang terjadi, apa yang telah dikatakan, bagaimana terjadinya, atau apa
yang sedang dipikirkan. Kemudian informasi yang didapat selanjutnya diteruskan kepada
orang lain melalui komunikasi. Komunikasi berlangsung antara manusia dengan manusia,
baik itu komunikasi secara langsung maupun tidak langsung. Kemudian, pengetahuan dan
informasi tersebut bergerak dinamis melalui organisasi dalam berbagai cara, tergantung
bagaimana organisasi memandangnya. Jika kita melihat situasi saat ini, dimana hal yang pasti
adalah ketidakpastian, maka ada satu hal pasti yang akan menjadi sumber utama organisasi
untuk mendapatkan keberhasilan jangka panjang dan untuk tetap kompetitif, hal tersebut
adalah pengetahuan. Pengetahuan bagi organisasi merupakan modal intelektual yang dapat
dibeda-bedakan menurut jenis pengetahuan yang dimiliki seseorang.
Dilihat dari jenisnya, ada dua jenis pengetahuan, yaitu pengetahuan explicit dan
pengetahuan tacit. Seperti yang dikemukakan oleh Polanyi; Pengetahuan juga bisa dibagi
menurut pengetahuan tacit dan explicit (Polanyi, 1967).
• Tacit
– Tersimpan dalam pikiran manusia, sulit diformulasikan (misalnya keahlian
seseorang)
– Penting untuk kreatifitas dan inovasi
– Dikonversikan ke eksplisit dengan eksternalisasi
– Misalnya pengalaman bertahun-tahun yang dimiliki oleh ahli
• Explisit
– Dapat dikodifikasi/formulasi
– Dikonversikan ke tacit dengan pemahaman dan penyerapan
– Misalnya dokumen, database, materi audio visual dll
Pengetahuan eksplisit dapat diungkapkan dengan kata-kata dan angka, disebarkan
dalam bentuk data, rumus, spesifikasi, dan manual. Pengetahuan tacit sifatnya sangat
personal, sulit diformulasikan sehingga sulit dikomunikasikan dan disebarkan kepada orang
lain. Sehingga dapat dikatakan bahwa Explicit Knowledge merupakan bentuk pengetahuan
yang sudah terdokumentasi/ terformalisasi, mudah disimpan, diperbanyak, disebarluaskan
dan dipelajari. Contoh manual, buku, laporan, dokumen, surat, file-file elektronik, dsb.
Sedangkan Tacit Knowledge, merupakan bentuk pengetahuan yang masih tersimpan
dalam pikiran manusia. Misalnya gagasan, persepsi, cara berpikir, wawasan,
keahlian/kemahiran, dan sebagainya.
Menurut Polanyi, selalu ada pengetahuan yang akan tetap tacit, sehingga proses
menjadi tahu (knowing) sama pentingnya dengan pengetahuan itu sendiri. Selain itu, ada
pandangan yang menganggap bahwa semua pembelajaran terjadi di dalam kepala manusia,
sebuah organisasi belajar melalui dua cara saja :
(a) Dengan kegiatan belajar anggota – anggotanya
(b) Dengan menyerap anggota baru yang memiliki pengetahuan yang tidak dimiliki
organisasi itu (Simon, 1991: 126).
Sedangkan menurut Moran dan Goshal (1996), pengetahuan diciptakan melalui dua
cara, yaitu : penggabungan (kombinasi) dan pertukaran. Dalam situasi di mana pengetahuan
dimiliki oleh pihak – pihak yang berbeda, maka pertukaran merupakan prasyarat bagi
penggabungan pengetahuan. Modal intelektual pada umumnya diciptakan melalui proses
penggabungan pengetahuan dari pihak berbeda, sebab itu, modal ini tergantung kepada
pertukaran antar pihak yang terlibat. Kadang – kadang pertukaran ini melibatkan perpindahan
pengetahuan explicit, baik yang dimiliki secara individual maupun kolektif.
Di sisi lain, I Made Wiryana dan Ernianti Hasibuan (2002) memiliki pandangan
lain tentang pengetahuan. Mereka mengelompokkan knowledge (pengetahuan) menjadi 3
jenis yaitu :
· Tacit knowledge
Pada dasarnya suatu informasi akan menjadi tacit knowledge ketika diproses oleh
pikiran seseorang. Knowledge jenis ini biasanya belum dikodifikasikan atau disusun
dalam bentuk tertulis. Dalam knowledge ini termasuk intuisi, cognitive knowledge.
Tacit knowledge seperti intuisi, dan pandangan biasanya sangat sulit untuk
dikodifikasikan. Biasanya pengetahuan ini terkumpul melalui pengalaman sehari-hari
pada pelaksanaan suatu pekerjaan. Pengetahuan jenis ini akan menjadi explicit
knowledge ketika dikomunikasikan kepada pihak lain dengan format yang tepat
(tertulis, grafik dan lain sebagainya).
· Explicit Knowledge
Pengetahuan yang telah dikodifikasi atau dieksplisitkan. Jadi biasanya telah
direpresentasikan dalam suatu bentuk yang tertulis dan terstruktur pengetahuan jenis
ini jelas lebih mudah direkam, dikelola dan dimanfaatkan serta ditransfer ke pihak
lain.
· Shared Knowledge
Explicit knowledge yang digunakan bersama-sama pada suatu komunitas.
Dalam suatu komunitas, agar terjadi akselerasi dalam domain pembahasan
pengetahuan itu sendiri, maka biasanya tacit knowledge akan ditransformasikan menjadi
explicit knowledge. Hal ini dapat dilakukan dengan membuat tulisan, laporan dan lain
sebagainya. Memang tidak semua tacit knowledge dapat diubah menjadi explicit knowledge.
Pada tahapan berikutnya agar dapat dimanfaatkan oleh komunitas, ataupun agar dapat
dilakukannya peer-review untuk perbaikan, pengetahuan itu sendiri akan dicoba
ditransformasikan sebagai suatu bentuk shared knowledge yang dapat digunakan bersamasama
oleh anggota komunitas. Hal ini misal dilakukan melalui media publikasi.
Aspirasi tentang nilai pengetahuan dalam kegiatan seseorang sama sekali bukan hal
baru, dan sudah menjadi bahan pembicaraan para filsuf sejak Socrates. Khususnya yang
berkaitan dengan manajemen pengetahuan (knowledge management) juga bukan hal baru;
berbagai pemikiran tentang peran pengetahuan dalam organisasi dan bisnis sudah marak
sejak 1987, sebagaimana digambarkan oleh Amidon (1998) yang menyatakan bahwa penulis
– penulis Jepang, Amerika Serikat, dan Eropa sejak awal telah menganjurkan integrasi antara
pengetahuan di dalam diri manusia dengan organisasi tempat mereka bekerja, agar tercipta
inovasi yang terus menerus. Pemikiran tentang “kekayaan tak berwujud”, organisasi yang
berdasarkan “knowhow” dan “organisasi yang belajar”, berkembang sepanjang akhir 1980-an
dan awal 1990-an.
Minat berbagai organisasi untuk menerapkan manajemen pengetahuan (knowledge
management) sangatlah besar. Menurut sebuah studi di tahun 1997, walaupun hanya 28
persen organisasi terbesar di AS dan Eropa mengaku sudah menerapkan manajemen
pengetahuan saat survey dilakukan, 50 % lainnya sedang bersiap – siap melaksanakan dan 93
% menyatakan sudah membuat rencana. Tiga tahun setelah itu, sebuah studi lain
menunjukkan bahwa 80 % dari organisasi – organisasi terbesar di dunia menerapkan
manajemen pengetahuan (Smith dan Farquhar, 2000).
Pada awal kepopulerannya, manajemen pengetahuan banyak sekali dipengaruhi oleh
pertimbangan – pertimbangan teknologi informasi. Bahkan dapat dikatakan, bahwa pada
awalnya teknologi informasi, terutama yang bisa menciptakan jaringan organisasi (interprisewide
network) dan dianggap sebagai inti dari manajemen pengetahuan. Organisasi
menerapkan teknologi informasi dengan harapan agar para pegawai berbagi pengetahuan
(knowledge sharing). Pada sistem informasi konvensional biasanya sudah dapat mendukung
explicit knowledge. Tetapi masih sedikit dukungan terhadap tacit knowledge. Menyajikan
suatu sarana untuk dapat saling menggunakan tacit knowledge merupakan tantangan
manajemen pengetahuan di masa depan. Jadi pada dasarnya, pada suatu komunitas ilmiah
untuk suatu disiplin ilmu akan terjadi proses kodifikasi tacit knowledge menjadi explicit
knowledge. Bentuk explicit knowledge inilah yang akan di''shared'' kepada komunitas. Maka,
sebagai aset intelektual, pengetahuan perlu diperbarui, diuji, dimutahirkan, dialihkan,
diakumulasikan, agar tetap memiliki nilai. Oleh karena itu, pengetahuan harus dikelola sebaik
– baiknya oleh organisasi yang bersangkutan. Pengetahuan diolah sedemikian rupa melalui
pendekatan yang sekarang dikenal dengan manajemen-pengetahuan atau Knowledge
Management .
Manajemen Pengetahuan yang diusahakan untuk mengikat secara eksplisit informasi
dan pengetahuan terstuktur yang ada di organisasi. Sehingga, tujuan utama dari manajemen
pengetahuan adalah untuk meningkatkan komunikasi antar individu, meningkatkan kualitas
keputusan, sehingga akan mempercepat perkembangan ke bidang baru, membuat hasil kerja
lebih cepat, meningkatkan kerjasama, dan secara keseluruhan memuaskan pengguna.
Manajemen pengetahuan awalnya memang cenderung didominasi oleh dunia bisnis.
Terutama oleh organisasi – organisasi yang berorientasi pada bidang bisnis. Mereka
menerapkan manajemen pengetahuan dalam rangka peningkatan kinerja usaha dan daya
tahan organisasi. Bahkan secara spesifik, sisi bisnis melihat pengetahuan sebagai faktor
produksi, sebagaimana Burton-Jones (1999) dalam bukunya yang berjudul Knowledge
Capitalism mengatakan, …knowledge is transformating the nature of production and thus
work, jobs, the firm, the market, and every aspect of economic activity (h.5). lebih jauh, ia
juga mengatakan bahwa …mental exertion is replacing physical extertation (h.22), sehingga
kemudian ia menyimpulkan bahwa … the principlal functions of the firm will be knowledge
coordination, protection, and integration (h.43).
Manajemen pengetahuan berakar pada banyak sekali disiplin ilmu, dengan demikian
banyak sekali definisi mengenai manajemen pengetahuan itu sendiri. Definisi itu juga makin
bervariasi dilihat dari cara organisasi menggunakan dan memanfaatkan pengetahuan. Cara
pandang terhadap pengetahuan juga menentukan definisi manajemen pengetahuan tersebut,
misalnya cara pandang mengenai kepemilikan pengetahuan akan mengarahkannya pada
pengetahuan yang terkodifikasi yang dilindungi oleh hak cipta dan paten.
Beberapa dari definisi tersebut diantaranya, manajemen pengetahuan adalah proses
sistematis untuk menemukan, memilih, mengorganisasikan, menyarikan dan menyajikan
informasi dengan cara tertentu yang dapat meningkatkan penguasaan karyawan dalam suatu
bidang kaji yang spesifik. Manajemen pengetahuan adalah proses dari organisasi untuk
menciptakan kesejahteraan dari aset intelektualnya dan aset pengetahuannya.
Definisi lain tentang manajemen pengetahuan dikemukakan pula oleh Jerry
Honeycutt, menurutnya manajemen pengetahuan adalah suatu disiplin yang memperlakukan
modal intelektual aset yang dikelola (Jerry Honeycutt, 2000). Sebab, konsep manajemen
pengetahuan (Knowledge Management) pada dasarnya adalah berkembang dari kenyataan
bahwa dimasa sekarang dan dimasa depan, aset utama sebuah organisasi agar mampu
berkompetisi adalah aset intelektual atau pengetahuan bukan aset kapital. Secara umum
manajemen pengetahuan merupakan teknik atau cara untuk mengelola pengetahuan dalam
organisasi untuk menciptakan nilai dan meningkatkan keunggulan kompetitif.
Untuk itu, organisasi membutuhkan bukan lagi sekedar Basis Data (Database) tetapi
Basis Pengetahuan (Knowledge Base) yang baik. Basis Pengetahuan baru bisa terbentuk bila
organisasi tersebut mengetahui apa saja sumberdaya yang mereka miliki dan apa saja yang
bisa dimanfaatkan serta bagaimana melakukannya. Setiap organisasi melaksanakan
manajemen pengetahuan dengan cara berbeda. Masing – masing memiliki aset pengetahuan
dan tantangan yang unik di dalam organisasi mereka sendiri. Masing – masing memiliki
proses dan dapat mengukur sukses dengan cara berbeda. Karena itu, solusi manajemen
pengetahuan merupakan hal yang unik bagi organisasi atau organisasi yang menerapkannya.
Dalam mencapai tujuan tersebut, maka diperlukan adanya SDM yang memiliki Pengetahuan
(Knowledge), Gagasan (Idea), Keahlian (Skill) serta Pengalaman (Experience) untuk dapat
membentuk SDM yang superior yang menjadi aset penting bagi organisasi. Keempat unsur
tersebut di atas merupakan modal yang tidak akan habis atau hilang begitu saja. Berbeda
dengan unsur finansial yang akan habis jika tidak dikelola baik dengan menggunakan
keempat unsur tersebut. Kemauan untuk belajar, bertanya, mencoba, mengemukan ide atau
pendapat dan menumbuhkan rasa percaya diri kita. Jadi, keempat unsur tersebut pada
dasarnya saling berhubungan satu sama lain dimana intinya adalah peningkatan informasi.
Sehingga dapat dikatakan bahwa inti dari Manajemen Pengetahuan adalah peningkatan
informasi dan pengetahuan organisasi secara sistematis untuk meningkatkan efektivitas
organisasi maupun lembaga lainnya. Dengan didukung oleh SDM yang berkualitas
(Knowledge, Idea, Experience, Skill) serta teknologi yang tepat guna ditambah dengan
Budaya (Culture) yang baik, maka peningkatan produktifitas (productivity), dan
kecakapan/kemampuan (competence) akan tercapai sehingga tercipta organisasi organisasi
yang baik dan dapat memenangkan persaingan. Autio et al. (2000)
mendefinisikan pembelajaran organisasi sebagai proses asimilasi pengetahuan baru kedalam
dasar pengetahuan organisasi. Pembelajaran organisasional dimulai pada tingkat individual.
Proses pembelajaran ini meliputi akuisisi informasi yang diolah menjadi pengetahuan
kemudian disimpan dalam memori seseorang. Ketika seseorang melakukan sesuatu, maka
komponen kognitif dan afektif serta komponen konatif yang tersimpan dalam memori akan
mempengaruhi perilaku tersebut. Proses pembelajaran ini dapat menghasilkan perbedaan
interpretasi seseorang dengan yang lainnya. Sebagai contoh, dua orang karyawan melihat dan
memperhatikan satu bentuk dasi yang digunakan oleh seorang manajer. Interpretasi karyawan
pertama fokus pada harga dasi tersebut, sedangkan interpretasi karyawan kedua fokus pada
keserasian dasi tersebut dengan pakaian yang digunakan manajer. Dari contoh ini, terdapat
perbedaan interpretasi walaupun kedua subjek melihat satu jenis objek yang sama. Mengapa
hal ini dapat terjadi? Hal ini terjadi dikarenakan kedua karyawan tersebut mengalami proses
pembelajaran, penerimaan akuisisi, serta pengolahan informasi yang berbeda. Proses
pembelajaran seseorang yang berbeda menyebabkan perilaku orang menjadi beragam. Hal ini
berkaitan dengan proses pembelajaran organisasi dimana terjadi kerjasama dan berbagai
pembelajaran secara bersama-sama. Findlay et al. (2000) menyatakan jembatan penghubung
dari individu ke kolektif yang biasanya dilakukan dalam pembelajaran organisasi meliputi
berbagai pengetahuan, nilai, atau asumsi .Terjadi proses penyebaran dan penciptaan
pengetahuan dari satu pihak ke pihak lain dalam organisasi. Proses pembelajaran organisasi
memiliki beberapa komponen yaitu meliputi mentransfer, membagikan, dan menciptakan
pengetahuan. Pada tahap organisasi, berbagai pengetahuan merupakan bagian yang sangat
penting.
Berdasarkan pendapat Fiol dan Lyles dalam Jashapara (2003) memandang
pembelajaran organisasi sebagai perbedaan antara:
a. Pengembangan kognitif (Cognitive development)
Pengembangan kognitif dipandang sebagai perubahan organisasional yang mempengaruhi
interpretasi peristiwa dan pengembangan berbagai pengertian diantara anggota organisasi
(Daft et al., 1988).
b. Pengembangan keperilakuan (Behavioural development)
Pengembangan keperilakuan dipandang sebagai respon atau tindakan baru berdasarkan
interpretasi yang ada. Argyris dan Schein (1978) menunjuk pembelajaran perilaku
sebagai “single-loop” learning. Hal ini memerlukan deteksi dan koreksi kesalahan yang
mengarah pada modifikasi peraturan dalam sekumpulan variabel perintah yang
ditetapkan. Tingkat kognitif yang lebih tinggi disebut “double-loop” learning, terjadi
ketika asumsi-asumsi dan prinsip-prinsip yang merupakan variabel perintah diuji dan
dipertanyakan. Hayes dan Allinson (1998) menyatakan dengan lebih ringkas “doing
things better” untuk singleloop learning dan “doing things differently or doing different
things” untuk double-loop learning.
Pennings et al. (1994) menyatakan bahwa pembelajaran dapat diperoleh secara
sementara dan kumulatif pengalaman organisasi atau proses melakukan sesuatu.
Pembelajaran harus memberikan manfaat positif bagi semua pihak yang terlibat dalam
kegiatan dan tujuan organisasi. Penerapan pembelajaran organisasional harus memperhatikan
struktur organisasi yang lebih mensyaratkan fleksibilitas dan kerjasama kelompok.
Gambaran lingkup kegiatan manajemen pengetahuan bagi pembelajaran organisasi
secara ringkas dapat dijelaskan dalam kegiatan berikut ini :
a. Membangun ruang penyimpanan pengetahuan (knowledge repository),
b. Menyempurnakan akses ke pengetahuan,
c. Memperbaiki lingkungan pengetahuan, dan
d. Mengelola pengetahuan sebagai kekayaan organisasi (aset).
Pengetahuan yang dimaksud adalah pengetahuan explicit yang terdapat dalam
bentuk dokumen, baik yang berasal dari dalam dan dari luar organisasi. Salah satu kegiatan
penting dalam upaya – upaya ini adalah penyaringan, sintesa, dan pengenaan konteks
terhadap berbagai informasi dan data, sebelum menyalurkannya ke pihak – pihak yang
memerlukan pengetahuan tertentu untuk kegiatan yang tertentu. Dan selalu ada seseorang
yang bertanggungjawab secara keseluruhan dan ada petugas khusus yang mengelola
pengetahuan. Selain itu, untuk mengisi pangkalan data pengetahuan, tidak semua kegiatan
mengandalkan petugas khusus, melainkan mendorong pemakai untuk mengisi sendiri.
Sebelum mengisinya, para pemakai didorong untuk melakukan diskusi dengan sesamanya di
ruang diskusi elektronik. Dalam upaya mendorong pertukaran dan pemakaian bersama
pengetahuan, kegiatan-kegiatan ini secara khusus memperhatikan lingkungan kerja yang
kondusif.
PENDEKATAN PENGEMBANGAN MANAJEMEN PENGETAHUAN
Manajemen pengetahuan bukan perkara yang sederhana, karena luas dan
kompleksnya bidang manajemen pengetahuan ini para ahli mencoba membangun model
untuk manajemen pengetahuan. Manajemen Pengetahuan dilaksanakan dalam sistem
pengelolaan pengetahuan, atau Knowledge Management System (KMS). Sebagian besar
organisasi yang menerapkan KMS, menggunakan pendekatan tiga-cabang untuk mengelola
pengetahuannya, yaitu – Manusia (People), Proses (Process), dan Teknologi (Technology).
Penekanan terhadap tiap-tiap elemen bisa berbeda di setiap bagian organisasi.
Model lain adalah yang dikemukakan oleh ahli lain yang membagi model manajemen
pengetahuan menjadi dua dimensi, sebagai berikut:
Dimensi pertama (bawah) terdiri dari aktifitas-aktifitas yang sangat penting bagi
proses penciptaan pengetahuan dan inovasi seperti :
· knowledge exchange,
· knowledge capture,
· knowledge reuse, dan
· knowledge internalization.
Secara keseluruhan, proses ini menciptakan sebuah organisasi pembelajaran (learning
organization) yaitu sebuah organisasi yang memiliki keahlian dalam penciptaan, perolehan,
dan penyebaran pengetahuan serta mengadaptasikan aktifitasnya untuk merefleksikan
pemahaman dan inovasi baru yang didapat.
Sedangkan dimensi kedua (atas) terdiri dari elemen yang memungkinkan atau
mempengaruhi aktifitas penciptaan pengetahuan, yaitu:
· Strategy – penyelarasan strategi organisasi dengan strategi KMS.
· Measurement – pengukuran yang diambil untuk menentukan apakah terjadi perbaikan
KM atau ada manfaat yang telah diambil.
· Policy – aturan tertulis atau petunjuk-petunjuk yang telah dibuat oleh organisasi.
· Content – bagian dari knowledge-base organisasi yang ditangkap secara elektronik.
· Process – proses-proses yang digunakan oleh knowledge worker organsisasi dalam
rangka mencapai misi dan tujuan organisasi.
· Technology – teknologi informasi yang memfasilitasi proses identifikasi, penciptaan,
dan difusi pengetahuan diantara elemen-elemen organisasi di seluruh bagian organisasi.
Peran penting teknologi dalam KMS adalah memperluas jangkauan dan meningkatkan
kecepatan transfer pengetahuan. Peran ini sangat tergantung pada dua aspek yang paling
banyak mendukung, yaitu penyimpanan dan komunikasi.
· Culture – lingkungan dan konteks yang di dalamnya proses-proses KM harus terjadi
(sering disebut dengan istilah nilai, norma, dan praktek).
Banyak usaha-usaha yang telah dilakukan untuk mendefinisikan proses-proses
Knowledge Management. Nonaka dan Takeuchi (1995) menggambarkan 4 proses konversi
pengetahuan: sosialisasi, eksternalisasi, kombinasi dan internalisasi. Masing-masing proses
melibatkan perubahan satu bentuk pengetahuan (tacit atau explicit) ke bentuk pengetahuan
lain (tacit atau explicit). Model ini memfokuskan pada persoalan penting pada bagaimana
pengetahuan dapat diciptakan melalui pembagian keorganisasian dan menjadi berguna untuk
mengidentifikasi dan menilai aktifitas-aktifitas penting tertentu dalam manajemen
pengetahuan.
Model lain, yang dikemukakan oleh Oluic-Vukovic (2001) menguraikan 5 langkah
dalam rantai pemrosesan pengetahuan: pengumpulan, penyusunan, penyaringan,
penyampaian dan penyebaran. Model ini melingkupi lebih lengkap lagi cakupan aktifitas
yang dilibatkan dalam aliran pengetahuan organisasi. Hampir menyerupai proses siklus hidup
informasi yang menyarankan sekali lagi aspek yang saling berhubungan dari Information
Management dan Knowledge Management.
Penemuan (discovery) melibatkan penempatan pengetahuan internal ke dalam
organisasi. Proses ini membicarakan ungkapan yang sering dikutip, “seandainya kita
mengetahui apa yang kita tahu” (“if only we knew what we know”). Organisasi besar yang
tersebar secara geografis, non hirarki sadar bahwa proses pengumpulan pengetahuan
(gathering) ini berguna terutama ketika satu bagian dari organisasi tidak mengetahui
pengetahuan yang terdapat dalam bagian lainnya. Sedangkan perolehan atau penambahan
(acquisition) berkaitan dengan membawa pengetahuan ke sebuah organisasi dari sumber
eksternal. Penciptaan (creation) pengetahuan baru dapat dikerjakan dalam berbagai cara.
Pertama, pengetahuan internal dapat digabungkan dengan pengetahuan internal lainnya untuk
menciptakan pengetahuan yang baru. Dan yang kedua, informasi dapat dianalisis untuk
menciptakan pengetahuan yang baru. Cara-cara tersebut adalah menambah nilai terhadap
informasi sehingga dapat menghasilkan tindakan. Satu contoh dari proses penciptaan
pengetahuan ini adalah competitive intelligence (kecerdasan yang kompetitif). Teknologi
menjadi berguna pada tahap ini karena teknologi dapat memudahkan penciptaan pengetahuan
baru melalui sintesis / perpaduan data dan informasi yang didapat dari sumber yang
bermacam-macam (Oulic-Vukovic, 2001).
Setelah pengetahuan telah dikumpulkan, lalu harus disimpan (stored) dan dibagikan
(shared). Berbagi (sharing) pengetahuan melibatkan pemindahan pengetahuan dari satu (atau
lebih) orang ke seseorang (atau lebih) lain. Berbagi pengetahuan sering kali menjadi
perhatian utama dalam manajemen pengetahuan dan jarang dibicarakan dalam literatur. Tidak
hanya sebagian besar organisasi mengabaikan pemikiran bahwa semua pengetahuan harus
didokumentasikan, melainkan mereka juga harus siap untuk mengimplementasikan metodemetode
yang berbeda untuk membagikan jenis-jenis pengetahuan yang berbeda (Snowden,
1998).
Hal tersebut adalah perdebatan bahwa fokus dari Knowledge Management tidak hanya
pada pendistribusian (distribution) tidak juga pada penyebaran (dissemination) pengetahuan,
tetapi pada pembagiannya (share). Meskipun pengetahuan dapat di peroleh pada tahapan
individu, agar dapat berguna harus dibagikan dalam suatu komunitas, yang seringkali
digambarkan sebagai komunitas praktek. Contohnya, jika terdapat hanya satu orang yang
mengetahui aturan dan prosedur organisasi, aturan dan prosedur seperti itu akan menjadi
tidak berguna dan tak berarti. Disisi lain, aturan dan prosedur berasal dari komunitas dan ada
dengan tepat untuk mengatur aktifitas kelompok. Berbagi pengetahuan (knowledge sharing)
kemudian menjadi krusial ketika anggota baru datang dan yang lain keluar. Manajemen
informasi tidak benar-benar memfokuskan pada pembagian informasi dan lebih
diorientasikan kepada pengawasan, pemeliharaan, dan penyimpanan informasi. Seseorang
juga dapat berpendapat bahwa kegunaan dan nilai dari informasi tidak bergantung sebanyak
pada konsumsi dan pembagian kolektifnya: konsumsi dan penggunaan individunya dapat
menjadi sangat efektif dari suatu sudut pandang organisasi. Sebenarnya, terlalu banyak
pendistribusian informasi dapat mengarah pada kelebihan informasi yang dapat
melumpuhkan tindakan. Berbagi pengetahuan dipahami, contohnya, oleh Bank Dunia sebagai
kritikan untuk pembangunan ekonomi dan sebagai langkah penting berikutnya melampaui
penyebaran informasi (MacMorrow, 2001).
Pada akhirnya, siklus manajemen pengetahuan tidak lengkap juga tidak berhasil jika
tidak ada usaha yang dibuat untuk memastikan penggunaan pengetahuan yang telah disimpan
dan dibagikan. Di sisi lain, kesuksesan proyek Information Management dicapai ketika
pemeliharaan dan pencarian informasi dijamin sementara kesuksesan program Knowledge
Management pada akhirnya bergantung pada sharing (berbagi) pengetahuan (Martensson,
2000)
Ada kendala-kendala yang dihadapi sebelum akhirnya dapat memanfaatkan dan menciptakan
pengetahuan-pengetahuan baru, yaitu kendala dalam mengakses, mengorganisasikan, dan
menangkap pengetahuan. Selain kendala dari dimensi proses tersebut, juga ada kendala dari
dimensi budaya. Sebelum terciptanya suasana yang mendorong inovasi (innovate),
diperlukan suasana yang mendorong dilakukannya berbagi (share) pengetahuan dan bekerja
sama (collaborate).
APLIKASI MANAJEMEN PENGETAHUAN DALAM ORGANISASI
Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan mengenai konsep dan model Manajemen
Pengetahuan, pada bagian ini akan diberikan langkah praktis untuk menerapkan manajemen
pengetahuan dalam organisasi.
1. Identifikasi dan Analisa
Tahapan awal dari kegiatan ini adalah kita perlu mengetahui dimana posisi organisasi
atau organisasi saat ini dalam pengelolaan pengetahuan. Hal ini perlu dilakukan karena
pengetahuan organisasi spesifik dan berbeda-beda untuk setiap organisasi. Pertama yang
perlu dilakukan adalah identifikasi pengetahuan yang ada, baik tacit maupun eksplisit dimana
pengetahuan tersebut tersimpan dan bagaimana peranan pengetahuan tersebut dalam kegiatan
organisasi. Hasilnya adalah sebuah peta pengetahuan yang ada dalam organisasi. Selanjutnya
melihat proses-proses, budaya dan kebiasaan yang terkait dengan pengelolaan pengetahuan
dalam organisasi, misalnya training, pendidikan dan latihan, tanya jawab, budaya
diskusi/debat, dsb. Kemudian melihat aktor pelaku atau bagian organisasi yang berkaitan
dengan proses pengelolaan pengetahuan tersebut (bagian diklat, bagian IT, kelompok ahli,
pustakawan dll). Perlu juga diketahui bagaimana karyawan dalam organisasi mendapatkan
pengetahuan. Tahap selanjutnya adalah indentifikasi infrastruktur yang ada, kita perlu melihat
infrastruktur apa yang telah ada, misalnya perpustakaan, intranet, media komunikasi internal,
email, forum diskusi, digital library dan lain-lain. Infrastruktur ini akan digunakan untuk
membangun sistem Knowledge Management dalam organisasi. Dari informasi-informasi
tersebut akan diperoleh gambaran mengenai proses pengelolaan pengetahuan yang ada saat
ini, dan infrastruktur apa yang bisa digunakan untuk membangun manajemen pengetahuan.
2. Perancangan, Penerapan, Sosialisasi, dan Evaluasi
Tahap berikut setelah dilakukan identifikasi dan analisa adalah perancangan
manajemen pengetahuan dalam organisasi. Beberapa pedoman yang bisa digunakan adalah:
· Penerapan teknologi, pada tahap awal gunakan teknologi yang tepat dan sederhana dan
yang telah ada. Kemudian dapat dikembangkan lebih lanjut.
· Pendekatan top-down, dengan kebijakan, anjuran dan bottom-up dengan menggerakan
karyawan melalui perubahan budaya.
· Dorong terciptanya Community of Practice.
· Bangun fasilitas untuk berbagi pengetahuan (formal maupun informal)
· Sosialisasi infrastruktur untuk dapat dimanfaatkan oleh seluruh karyawan.
· Evaluasi keberhasilan penerapan, misalnya dengan pengukuran kinerja.
3. Tipe Kegiatan manajemen pengetahuan
Kegiatan manajemen pengetahuan dapat diklasifikasikan dalam beberapa tipe
yaitu:
a. Mengumpulkan dan menggunakan ulang pengetahuan terstruktur. Pengetahuan sering
tersimpan dalam beberapa bagian dari output yang dihasilkan organisasi, seperti
disain produk, proposal dan laporan kegiatan, prosedur-prosedur yang sudah
dimplementasikan dan terdokumentasikan dan kode-kode software yang semuanya
dapat dipergunakan ulang untuk mengurangi waktu dan sumber yang diperlukan
untuk membuatnya kembali.
b. Mengumpulkan dan berbagi pelajaran yang sudah dipelajari (lessons learned) dari
praktek-praktek. Tipe kegiatan ini mengumpulkan pengetahuan yang berasal dari
pengalaman, yang harus diinterpretasikan dan diadopsi oleh user dalam konteks yang
baru.
c. Mengidentifikasi sumber dan jaringan kepakaran. Kegiatan ini bermaksud untuk
menjadikan kepakaran lebih mudah terlihat dan mudah diakses bagi setiap karyawan.
Dalam hal ini adalah untuk membuat fasilitas koneksi antara orang yang mengetahui
pengetahuan dan orang yang membutuhkan pengetahuan.
d. Membuat struktur dan memetakan pengetahuan yang diperlukan untuk meningkatkan
performansi. Kegiatan ini memberikan pengaruh seperti pada proses pengembangan
produk baru atau disain ulang proses bisnis dengam menjadikan lebih eksplisit atau
terbuka dari pengetahuan yang diperlukan pada tahap-tahap tertentu.
e. Mengukur dan mengelola nilai ekonomis dari pengetahuan. Banyak organisasi
mempunyai aset intelektual yang terstuktur, seperti hak paten, copyright, software
licenses dan database pelanggan. Dengan mengetahui semua aset-aset ini
memungkinkan organisasi untuk membuat revenue dan biaya untuk organisasi.
f. Menyusun dan menyebarkan pengetahuan dari sumber-sumber eksternal. Perubahan
lingkungan bisnis yang cepat dan tidak menentu telah meningkatkan kepentingan dan
kesungguhan pada business intelligence system. Dalam kegiatan ini organisasi
berusaha mengumpulkan semua laporan dari luar yang berhubungan dengan bisnis.
Dalam kegiatan ini diperlukan editor dan analis untuk menyusun dan memberikan
konteks terhadap informasi-informasi yang diperoleh tersebut.
4. Tujuan Penerapan Knowledge Management (KM)
Penerapan KM akan memberikan pengaruh terhadap proses bisnis organisasi:
a. Penghematan waktu dan biaya. Dengan adanya sumber pengetahuan yang terstruktur
dengan baik, maka organisasi akan mudah untuk menggunakan pengetahuan tersebut
untuk konteks yang lainnya, sehingga organisasi akan dapat menghemat waktu dan
biaya.
b. Peningkatan aset pengetahuan. Sumber pengetahuan akan memberikan kemudahaan
kepada setiap karyawan untuk memanfaatkannya, sehingga proses pemanfaatan
pengetahuan di lingkungan organisasi akan meningkat, yang akhirnya proses
kreatifitas dan inovasi akan terdorong lebih luas dan setiap karyawan dapat
meningkatkan kompetensinya.
c. Kemampuan beradaptasi. Organisasi akan dapat dengan mudah beradaptasi dengan
perubahan lingkungan bisnis yang terjadi.
d. Peningkatan produktfitas. Pengetahuan yang sudah ada dapat digunakan ulang untuk
proses atau produk yang akan dikembangkan, sehingga produktifitas dari organisasi
akan meningkat
5. Strategi Untuk Mengelola Pengetahuan
Dalam praktek KM di lapangan terdapat dua buah strategi KM yang sangat berbeda.
Kedua strategi tersebut adalah :
1. Strategi Kodifikasi
2. Strategi Personalia
Strategi Kodifikasi, pengetahuan dikodifikasi, didokumentasikan dengan baik, dan
disimpan ke dalam database sehingga dapat diakses dan digunakan berulang-ulang oleh
siapapun dalam organisasi tersebut. Komputer membantu komunikasi antara individu-kedokumen.
Untuk itu diperlukan sebuah sistem yang mirip dengan perpustakaan tradisional,
yang menyimpan dokumen elektronik dengan fasilitas search engine yang bagus. Strategi ini
biasanya dipakai oleh organisasi yang menjual produk yang standard dan umum.
Strategi Personalia, pengetahuan disebarkan melalui kontak individu-ke-individu.
Fungsi utama komputer hanyalah untuk membantu mereka berkomunikasi seperti melalui
email, chatting, video conferensi, lalu meeting. Untuk itu diperlukan sebuah sistem pencarian
data keahlian (expertise directory) sehingga setiap individu bisa menghubungi individu
lainnya dengan informasi kontak yang disediakan. Strategi ini biasanya dipakai oleh
organisasi yang memberikan solusi sangat costumized kepada setiap permasalahan yang unik.
Sebuah organisasi tidak bisa menggunakan kedua strategi sekaligus dengan proporsi yang
sama juga tidak bisa hanya menggunakan salah satu strategi saja. Strategi yang tidak sesuai
dengan budaya dan kehidupan bisnis organisasi juga akan menghasilkan kegagalan bisnis
organisasi juga akan menghasilkan kegagalan besar dalam menerapkan manajemen
pengetahuan.
PENUTUP
Dewasa ini para praktisi dan ahli manajemen telah melihat peran yang sangat besar
dari modal yang bersifat maya (virtual) dalam menciptakan nilai. Modal maya ini mencakup
modal intelektual, modal sosial, kredibilitas, pengaruh, semangat atau motivasi dan modal –
modal lainnya yang tidak kasat mata. Dalam lingkungan yang sangat cepat berubah, modal
maya inipun mengalami keusangan, sebab itu perlu terus menerus diperbaharui. Proses
pembaruan ini dapat dilakukan melalui proses belajar. Anggota – anggota atau warga sebuah
organisasi dituntut untuk bisa belajar bersama dengan cepat, mudah dan gembira, kapan dan
dimana saja. Pengetahuan yang melekat pada anggota suatu organisasi juga perlu diperbarui,
diuji, dimutakhirkan, dialihkan, diakumulasikan, agar tetap memiliki nilai. Hal ini
menyebabkan para praktisi dan pakar manajemen mencari pendekatan untuk mengelola
pengetahuan yang sekarang dikenal dengan manajemen pengetahuan. Mengelola
pengetahuan bukanlah hal yang mudah, pengelolaan pengetahuan merupakan aktifitas yang
kompleks, dan membutuhkan perencanaan yang sempurna.
Pendekatan yang dikembangkan tidak akan lepas dari penerapan Teknologi Informasi.
Berkembangnya kemajuan di bidang TI dapat memacu efisiensi dan efektivitas organisasi,
sehingga usaha-usaha untuk memaksimalkan TI terus berkembang. Sehingga ada tanggapan
bahwa, manajemen pengetahuan merupakan suatu upaya menempatkan kembali TI sebgai
usaha peningkatan pengelolaan informasi dan pengetahuan organisasi secara siatematis.
Sekaligus menempatkan kembali orang-orang yang telah terlatih dan memiliki kecakapan
sesuai lini pendidikan dan organisasional. Pengaruh baik dari penerapan manajemen
pengetahuan tersebut, telah banyak menarik perhatian beberapa organisasi-organisasi di
dunia, bahkan di Indonesia.

PERUBAHAN KETIGA UNDANG-UNDANG DASAR NEGARA REPUBLIK INDONESIA TAHUN 1945

D:/Datafile/Undang-2/UU/1945/UUD1945-Perubahan 3.doc (Sri PC per 1/4/02 1:44PM) 1
PERUBAHAN KETIGA UNDANG-UNDANG DASAR NEGARA REPUBLIK INDONESIA
TAHUN 1945
DENGAN RAHMAT TUHAN YANG MAHA ESA
MAJELIS PERMUSYAWARATAN RAKYAT REPUBLIK INDONESIA
Setelah mempelajari, menelaah, dan mempertimbangkan dengan saksama dan sungguh-sungguh
hal-hal yang bersifat mendasar yang dihadapi oleh rakyat, bangsa, dan negara, serta dengan
menggunakan kewenangannya berdasarkan Pasal 37 Undang-Undang Dasar Negara Republik
Indonesia Tahun 1945, Majelis Permusyawaratan Rakyat Republik Indonesia mengubah dan/atau
menambah Pasal 1 Ayat (2) dan (3); Pasal 3 Ayat (1), (3), dan (4); Pasal 6 Ayat (1), dan (2); Pasal
6A Ayat (1), (2), (3), dan (5); Pasal 7A; Pasal 7B Ayat (1), (2), (3), (4), (5), (6), dan (7); Pasal 7C;
Pasal 8 Ayat (1) dan (2); Pasal 11 ayat (2) dan (3); Pasal 17 Ayat (4); Bab VIIA, Pasal 22C Ayat
(1), (2), (3), dan (4); Pasal 22D Ayat (1), (2), (3), dan (4); Bab VIIb, Pasal 22E Ayat (1), (2), (3),
(4), (5), dan (6); Pasal 23 Ayat (1), (2), (3); Pasal 23A; Pasal 23C; Bab VIIIA, Pasal 23E Ayat (1),
(2), (3), dan (4); Pasal 23F Ayat (1) dan (2); Pasal 23G Ayat (1) dan (2); Pasal 24 Ayat (1) dan (2);
Pasal 24A Ayat (1), (2), (3), (4), dan (5); Pasal 24B Ayat (1), (2), (3), dan (4); Pasal 24C Ayat (1),
(2), (3), (4), (5), dan (6) Undang-Undang Dasar Negara Republik Indonesia Tahun 1945 sehingga
selengkapnya berbunyi sebagai berikut:
Pasal 1
(2) Kedaulatan berada di tangan rakyat dan dilaksanakan menurut Undang-Undang Dasar.
(3) Negara Indonesia adalah negara hukum.
Pasal 3
(1) Majelis Permusyawaratan Rakyat berwenang mengubah dan menetapkan Undang-Undang
Dasar.
(3) Majelis Permusyawaratan Rakyat melantik Presiden dan/atau Wakil Presiden.
(4) Majelis Permusyawaratan Rakyat hanya dapat memberhentikan Presiden dan/atau Wakil
Presiden dalam masa jabatannya menurut Undang-Undang Dasar.
Pasal 6
(1) Calon Presiden dan calon Wakil Presiden harus warga negara Indonesia sejak kelahirannya
dan tidak pernah menerima kewarganegaraan lain karena kehendaknya sendiri, tidak pernah
mengkhianati negara, serta mampu secara rohani dan jasmani untuk melaksanakan tugas
dan kewajibannya sebagai Presiden dan Wakil Presiden.
(2) Syarat-syarat untuk menjadi Presiden dan Wakil Presiden diatur lebih lanjut dengan
undang-undang.
Pasal 6A
(1) Presiden dan Wakil Presiden dipilih dalam satu pasangan secara langsung oleh rakyat.
D:/Datafile/Undang-2/UU/1945/UUD1945-Perubahan 3.doc (Sri PC per 1/4/02 1:44PM) 2
(2) Pasangan calon Presiden dan Wakil Presiden diusulkan oleh partai politik atau gabungan
partai politik peserta pemilihan umum sebelum pelaksanaan pemilihan umum.
(3) Pasangan calon Presiden dan Wakil Presiden yang mendapatkan suara lebih lama dari lima
puluh presiden dari jumlah suara dalam pemilihan umum sebelum pelaksanaan pemilihan
umum.
(5) Tata cara pelaksanaan pemilihan Presiden dan Wakil Presiden lebih lanjut diatur dalam
undang-undang.
Pasal 7A
Presiden dan/atau Wakil Presiden dapat diberhentikan dalam masa jabatannya oleh Majelis
Permusyawaratan Rakyat atas usul Dewan Perwakilan Rakyat, baik apabila terbukti telah
melakukan pelanggaran hukum berupa pengkhianatan terhadap negara, korupsi, penyuapan, tindak
pidana berat lainnya, atau perbuatan tercela maupun apabila terbukti tidak lagi memenuhi syarat
sebagai Presiden dan/atau Wakil Presiden.
Pasal 7B
(1) Usul pemberhentian Presiden dan/atau Wakil Presiden dapat diajukan oleh Dewan
Perwakilan Rakyat kepada Majelis Permusyawaratan Rakyat hanya dengan terlebih dahulu
mengajukan permintaan kepada Mahkamah Agung untuk memeriksa, mengadili, dan
memutuskan pendapat Dewan Perwakilan Rakyat bahwa Presiden dan/atau Wakil Presiden
telah melakukan pelanggaran hukum berupa penghiatan terhadap negara, korupsi,
penyuapan, tindak pidana berat lainnya, atau perbuatan tercela; dan/atau pendapat bahwa
Presiden dan/atau Wakil Presiden tidak lagi memenuhi syarat sebagai Presiden dan/atau
Wakil Presiden.
(2) Pendapat Dewan Perwakilan Rakyat bahwa Presiden dan/atau Wakil Presiden telah
melakukan pelanggaran hukum tersebut ataupun telah tidak lagi memenuhi syarat sebagai
Presiden dan/atau Wakil Presiden adalah dalam rangka pelaksanaan fungsi pengawasan
Dewan Perwakilan Rakyat.
(3) Pengajuan permintaan Dewan Perwakilan Rakyat kepada Mahkamah Konstitusi hanya
dapat dilakukan dengan dukungan sekurang-kurangnya 2/3 dari jumlah anggota Dewan
Perwakilan Rakyat yang hadir dalam sidang paripurna yang dihadiri oleh sekurangkurangnya
2/3 dari jumlah anggota Dewan Perwakilan Rakyat.
(4) Mahkamah Konstitusi wajib memeriksa, mengadili, dan memutuskan dengan seadil-adilnya
terhadap pendapat Dewan Perwakilan Rakyat tersebut paling lama sembilan puluh hari
setelah permintaan Dewan Perwakilan Rakyat itu diterima oleh Mahkamah Konstitusi.
(5) Apabila Mahkamah Konstitusi memutuskan bahwa Presiden dan/atau Wakil Presiden
terbukti melakukan pelanggaran hukum berupa pengkhianatan terhadap negara, korupsi,
penyuapan, tindak pidana berat lainnya, atau perbuatan tercela; dan/atau terbukti bahwa
Presiden dan/atau Wakil Presiden, Dewan Perwakilan Rakyat menyelenggarakan sidang
paripurna untu merumuskan usul perberhentian Presiden dan/atau Wakil Presiden kepada
Majelis Permusyawaratan Rakyat.
(6) Majelis Permusyawaratan Rakyat wajib menyelenggarakan sidang untuk memutuskan usul
Dewan Perwakilan Rakyat tersebut paling lama tiga puluh hari sejak Majelis
Permusyawaratan Rakyat menerima usul tersebut.
(7) Keputusan Majelis Permusyawaratan Rakyat atas usul pemberhentian Presiden dan/atau
Wakil Presiden harus diambil dalam rapat paripurna Majelis Permusyawaratan Rakyat yang
dihadiri oleh sekurang-kurangnya ¾ dari jumlah anggota dan disetujui oleh sekurangkurangnya
2/3 dari jumlah anggota yang hadir, setelah Presiden dan/atau Wakil Presiden
D:/Datafile/Undang-2/UU/1945/UUD1945-Perubahan 3.doc (Sri PC per 1/4/02 1:44PM) 3
diberi kesempatan menyampaikan penjelasan dalam rapat paripurna Majelis
Permusyawaratan Rakyat.
Pasal 7C
Presiden tidak dapat membekukan dan/atau membubarkan Dewan Perwakilan Rakyat.
Pasal 8
(1) Jika Presiden mangkat, berhenti, diberhentikan, atau tidak dapat melakukan kewajibannya
dalam masa jabatannya, ia digantikan oleh Wakil Presiden sampai masa jabatannya.
(2) Dalam hal terjadi kekosongan Wakil Presiden, selambat-lambatnya dalam waktu enam
puluh hari, Majelis Permusyawaratan Rakyat menyelenggarakan sidang untuk memilih
Wakil Presiden dari dua calon yang diusulkan oleh Presiden.
Pasal 11
(2). Presiden dalam membuat perjanjian internasional lainnya yang menimbulkan akibat yang
luas dan mendasar bagi kehidupan rakyat yang terkait dengan beban keuangan negara,
dan/atau mengharuskan perubahan atau pembentukan undang-undang harus dengan
persetujuan Dewan Perwakilan Rakyat.
(3) Ketentuan lebih lanjut tentang perjanjian internasional diatur dengan undang-undang.
Pasal 17
(4) Pembentukan, pengubahan, dan pembubaran kementrian negara diatur dalam undangundang
BAB VIIA
DEWAN PERWAKILAN DAERAH
Pasal 22C
(1) Anggota Dewan Perwakilan Daerah dipilih dari setiap provinsi melalui pemilihan umum.
(2) Anggota Dewan Perwakilan Daerah dari setiap provinsi jumlahnya sama dan jumlah
Seluruh anggota Dewan Perwakilan Rakyat Daerah itu tidak lebih dari sepertiga jumlah
anggota Dewan Perwakilan Daerah.
(3) Dewan Perwakilan Daerah bersidang sedikitnya sekali dalam setahun.
(4) Susunan dan kedudukan Dewan Perwakilan Daerah diatur dengan undang-undang.
Pasal 22D
(1) Dewan Perwakilan Daerah dapat mengajukan kepada Dewan Perwakilan Rakyat
Rancangan Undang-undang yang berkaitan dengan otonomi daerah, hubungan pusat dan
daerah, pembentukan dan pemakaran serta penggabungan daerah, pengelolaan sumber daya
D:/Datafile/Undang-2/UU/1945/UUD1945-Perubahan 3.doc (Sri PC per 1/4/02 1:44PM) 4
alam dan sumber daya ekonomi lainnya, serta yang berkaitan dengan perimbangan
keuangan pusat dan daerah.
(2) Dewan Perwakilan Daerah ikut membahas Rancangan undang-undang yang berkaitan
dengan otonomi daerah; hubungan pusat dan daerah; pembentukan pemekaran, dan
penggabungan daerah; pengelolaan sumber daya alam dan sumber daya ekonomi lainnya,
serta perimbangan keuangan pusat dan daerah; serta memberikan pertimbangan kepada
Dewan Perwakilan Rakyat atas rancangan undang-undang anggaran pendapatan dan belanja
negara dan Rancangan undang-undang yang berkaitan dengan pajak, pendidikan, dan
agama.
(3) Dewan Perwakilan Daerah dapat melakukan pengawasan atas pelaksanaan undang-undang
mengenai: otonomi daerah, pembentukan, pemekaran dan penggabungan daerah, hubungan
pusat dan daerah, pengelolaan sumber daya alam dan sumber daya ekonomi lainnya,
pelaksanaan anggaran pendapatan dan belanja negara, pajak, pendidikan, dan agama serta
menyampaikan hasil pengawasannya itu kepada Dewan Perwakilan Rakyat sebagai bahan
pertimbangan untuk ditindaklanjuti.
(4) Anggota Dewan Perwakilan Daerah dapat diberhentikan dari jabatannya, yang syarat-syarat
dan tata caranya diatur dalam undang-undang.
BAB VIIB
PEMILIHAN UMUM
Pasal 22E
(1) Pemilihan umum dilaksanakan secara langsung, umum, bebas, rahasia, jujur, dan adil setiap
lima tahun sekali.
(2) Pemilihan umum diselenggarakan untuk memilih anggota Dewan Perwakilan Rakyat,
Dewan Perwakilan Daerah, Presiden dan Wakil Presiden dan Dewan Perwakilan Rakyat
Daerah.
(3) Peserta pemilihan umum untuk memilih anggota Dewan Perwakilan Rakyat dan anggota
Dewan Perwakilan Rakyat Daerah adalah partai politik.
(4) Peserta pemilihan umum untuk memilih anggota Dewan Perwakilan Daerah adalah
perseorangan.
(5) Pemilihan umum diselenggarakan oleh suatu komisi pemilihan umum yang bersifat
nasional, tetap dan mandiri
(6) Ketentuan lebih lanjut tentang pemilihan umum diatur dengan undang-undang.
Pasal 23
(1) Anggaran pendapatan dan belanja negara sebagai wujud dari pengelolaan keuangan negara
ditetapkan setiap tahun dengan undang-undang dan dilaksanakan secara terbuka dan
bertanggungjawab untuk sebesar-besarnya kemakmuran rakyat.
(2) Rancangan undang-undang anggaran pendapatan dan belanja negara diajukan oleh Presiden
untuk dibahas bersama Dewan Perwakilan Rakyat dengan memperhatikan pertimbangan
Dewan Perwakilan Rakyat Daerah.
(3) Apabila Dewan Perwakilan Rakyat tidak menyetujui Rancangan anggaran pendapatan dan
belanja negara yang diusulkan oleh Presiden, Pemerintah menjalankan Anggaran
Pendapatan dan Belanja Negara tahun yang lalu.
D:/Datafile/Undang-2/UU/1945/UUD1945-Perubahan 3.doc (Sri PC per 1/4/02 1:44PM) 5
Pasal 23A
Pajak dan pungutan lain yang bersifat memaksa untuk keperluan negara diatur dengan undangundang.
Pasal 23C
Hal-hal lain mengenai keuangan negara diatur dengan undang-undnag.
BAB VIIIA
BADAN PEMERIKSA KEUANGAN
Pasal 23E
(1) Untuk memeriksa pengelolaan dan tanggung jawab tentang keuangan negara diadakan satu
badan Pemeriksa Keuangan yang bebas dan mandiri.
(2) Hasil pemeriksa keuangan negara diserahkan kepada Dewan Perwakilan Rakyat, Dewan
Perwakilan Daerah, dan Dewan Perwakilan Rakyat Daerah,sesuai dengan kewenangnnya.
(3) Hasil pemeriksaan tersebut ditindaklanjuti oleh lembaga perwakilan dan/atau badan sesuai
dengan undang-undang.
Pasal 23F
(1) Anggota Badan Pemeriksa Keuangan dipilih oleh Dewan Perwakilan Rakyat dengan
memperhatikan pertimbangan Dewan Perwakilan Daerah dan diresmikan oleh Presiden.
(2) Pimpinan Badan Pemeriksa Keuangan dipilih dari dan oleh anggota.
Pasal 23G
(1) Badan Pemeriksa Keuangan berkedudukan di Ibukota negara, dan memiliki perwakilan di
setiap provinsi.
(2) Ketentuan lebih lanjut mengenai Badan Pemeriksa Keuangan diatur dengan undang-undang.
Pasal 24
(1) Kekuasaan kehakiman merupakan kekuasaan yang merdeka untuk menyelenggarakan
peradilan guna menegakkan hukum dan keadilan.
(2) Kekuasaan kehakiman dilakukan oleh sebuah Mahkamah Agung dan badan peradilan yang
berada di bawahnya dalam lingkungan peradilan umum, lingkungan peradilan agama,
lingkungan peradilan militer, lingkungan peradilan tata usaha negara, dan oleh sebuah
Mahkamah Konstitusi.
Pasal 24A
D:/Datafile/Undang-2/UU/1945/UUD1945-Perubahan 3.doc (Sri PC per 1/4/02 1:44PM) 6
(1) Mahkamah Agung berwenang menjadi pada tingkat kasasi, menguji peraturan perundangundangan
di bawah undang-undang terhadap undang-undang, dan mempunyai wewenang
lainnya yang diberikan oleh undang-undang.
(2) Hakim agung harus memiliki integritas dan kepribadian yang tidak tercela, adil,
professional, dan berpengalaman di bidang hukum.
(3) Calon hakim agung diusulkan Komisi Yudisial kepada Dewan Perwakilan Rakyat untuk
mendapatkan persetujuan dan selanjutnya ditetapkan sebagai hakim agung oleh Presiden.
(4) Ketua dan wakil ketua Mahkamah Agung dipilih dari dan oleh hakim agung.
(5) Susunan, kedudukan, keanggotaan, dan hukum acara Mahkamah Agung serta badan
peradilan dibawahnya diatur dengan undang-undang.
Pasal 24B
(1) Komisi Yudisial bersifat mandiri yang berwenang mengusulkan pengangkatan hakim agung
dan mempunyai wewenang lain dalam rangka menjaga dan menegakkan kehormatan,
keluhuran martabat, serta perilaku hakim.
(2) Anggota Komisi Yudisial harus mempunyai pengetahuan dan pengalaman dibidang hukum
serta memiliki integritas dan kepribadian yang tidak tercela.
(3) Anggota Komisi Yudisial diangkat dan diberhentikan oleh Presiden dengan persetujuan
Dewan Perwakilan Rakyat.
(4) Susunan, kedudukan, dan keanggotaan Komisi Yudisial diatur dengan undang-undang.
Pasal 24C
(1) Mahkamah Konstitusi berwenang mengadili pada tingkat pertama dan terakhir yang
putusannya bersifat final untuk menguji undang-undang terhadap Undang-Undang Dasar,
memutuskan sengketa kewenangan lembaga negara yang kewenangannya diberikan oleh
Undang-Undang Dasar, memutuskan pembubaran partai politik, dan memutuskan
perselisihan tentang hasil pemilihan umum.
(2) Mahkamah Konstitusi wajib memberikan putusan atas pendapat Dewan Perwakilan Rakyat
mengenai dugaan pelanggaran oleh Presiden dan/atau Wakil Presiden menurut Undang-
Undang Dasar.
(3) Mahkamah Konstitusi mempunyai sembilan orang anggota hakim konstitusi yang
ditetapkan oleh Presiden, yang diajukan masing-masing tiga orang oleh Mahkamah Agung,
tiga orang oleh Dewan Perwakilan Rakyat, dan tiga orang oleh Presiden.
(4) Ketua dan Wakil Ketua Mahkamah Konstitusi dipilih dari dan oleh Hakim konstitusi.
(5) Hakim konstitusi harus memiliki integritas dan kepribadian yang tidak tercela, adil,
negarawan yang menguasai konstitusi dan ketatanegaraan, serta tidak merangkap sebagai
pejabat negara.
(6) Pengangkatan dan pemberhentian hakim konstitusi, hukum acara serta ketentuan lainnya
tentang Mahkamah Konstitusi diatur dengan undang-undang.
Naskah perubahan ini merupakan bagian tak terpisahkan dari naskah Undang-Undang Dasar
Negara Republik Indonesia Tahun 1945. Perubahan tersebut diputuskan dalam Rapat Paripurna
Majelis Permusyawaratan Rakyat Republik Indonesia ke-7 (lanjutan 2) tanggal 9 November 2001
Sidang Tahunan Majelis Permusyawaratan Rakyat Republik Indonesia, dan mulai berlaku pada
tanggal ditetapkan.
D:/Datafile/Undang-2/UU/1945/UUD1945-Perubahan 3.doc (Sri PC per 1/4/02 1:44PM) 7
Ditetapkan di Jakarta
pada tanggal 9 November 2001
MAJELIS PERMUSYAWARATAN RAKYAT REPUBLIK INDONESIA,
KETUA
ttd
Prof. Dr. H.M. AMIEN RAIS
WAKIL KETUA, WAKIL KETUA,
ttd ttd
Prof. Dr. Ir. GINANJAR Ir. SUTJIPTO
KARTASASMITA
WAKIL KETUA, WAKIL KETUA,
ttd ttd
Prof. Dr. JUSUF AMIR Drs. H.M. HUSNIE THAMRIN
FEISAL, S.Pd.
WAKIL KETUA, WAKIL KETUA,
ttd ttd
Drs. H.A. NAZRI ADLANI AGUS WIDJOJO